使用生產函式中的 3 個輸入計算成本最小化輸入
如何確定具有三個輸入的標準 Cobb-Douglas 生產函式的成本最小化輸入束。儘管過程很簡單，但當您進行計算時，代數變得非常困難。具體來說，我想在以下問題中找到 k、m 和 l 的封閉形式解決方案：
$$ min: \ wl +rk+qm $$ $$ st: y< Ak^{\alpha}l^{\beta}m^{\gamma} $$
謝謝。
生產函式
$$ F(x) = x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3}, $$
有關於的導數 $ x_j $ 例如，我選擇在哪裡 $ j=1 $
$$ \frac{\partial F(x)}{\partial x_1} = \alpha_1x_1^{\alpha_1-1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3}, $$
但是，最好（在我看來）把它寫成
$$ \frac{\partial F(x)}{\partial x_1} = x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3} \frac{\alpha_1}{x_1}, $$ 因為那時生產函式作為因子重新出現在導數中 $ x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3} $ .
通過設置拉格朗日，您可以獲得一階條件
$$ p_j = \lambda \frac{\partial F(x)}{\partial x_j} = \lambda x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3} \frac{\alpha_j}{x_j} $$
為了 $ j=1,2,3 $ 和在哪裡 $ p_j $ 或者是 $ w $ , $ r $ 或者 $ q $ . 通過使用索引，您可以將三個方程式寫成一個（您可以節省紙張，從而節省雨林——這是數學家幫助我們更加環保的一種方式）。
現在很容易看出 $ \lambda $ 對於任何非零生產水平必須為正（價格為正， $ \alpha_j $ 是正的，生產水平是正的 $ x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3} $ 是積極的。因此，約束必須具有約束力 $ F(x) = y $ .
使用它並重寫 FOC 以獲得
$$ (1) \ \ p_jx_j = \lambda y \alpha_j, $$
把總和 $ j=1,2,3 $ 並得到
$$ C= \lambda y \bar \alpha, $$
在哪裡 $ C=\sum_j p_j x_j $ 總成本和 $ \bar \alpha = \sum_j \alpha_j $ 在規模報酬不變的情況下為 1。你現在知道了
$$ \lambda = \frac{C}{y \bar \alpha}, $$
您可以將其代入 (1) 以獲得
$$ (2) \ \ x_j = \frac{\alpha_j C}{\bar \alpha p_j}, $$
然後將其替換為約束 $ F(x) = y $ 要得到
$$ y = \left(\frac{\alpha_1 C}{\bar \alpha p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{\alpha_2 C}{\bar \alpha p_2}\right)^{\alpha_2}\left(\frac{\alpha_3 C}{\bar \alpha p_3}\right)^{\alpha_3} =\frac{\alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\alpha_3^{\alpha_3} C^{\bar \alpha}}{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}\bar \alpha^{\bar \alpha}}, $$
暗示著
$$ C = \left( \frac{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3} }{\alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\alpha_3^{\alpha_3} } \right)^\frac{1}{\bar \alpha}\bar \alpha y^\frac{1}{\bar \alpha}, $$
這是成本函式 $ C(p,y) $ . 然後您可以將其插入 (2) 以獲得條件因子需求 $$ x_j = \frac{\alpha_j /\bar \alpha}{p_j} \left[\left( \frac{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3} }{\alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\alpha_3^{\alpha_3} } \right)^\frac{1}{\bar \alpha} \bar \alpha y^\frac{1}{\bar \alpha}\right], $$
你可以刪除的地方 $ \bar \alpha $ 但是留下它的要點是方括號中的術語只是成本函式，因此可以看出公司使用固定份額 $ \alpha_j/\bar \alpha $ 為我們提供資金的總成本 $ j $ .