凹效用函式角解說明
我似乎沒有得到這個。有人可以解釋一下顯示凹效用函式的數學方法嗎
$$ like (ax^2+by^2) $$受預算約束有一個角落的解決方案。我得到了它背後的經濟直覺，但沒有得到它背後的數學部分。
直覺地，可以看到角點解決方案位於可能的最高無差異曲線上（對於凹偏好）。因此，在這些點上獲得的效用將最高。下圖（由Google 圖片提供）可能有助於將上述陳述形象化。
從數學上講，很難想像發生了什麼。但是，庫恩塔克條件可以告訴您是否存在角點解決方案（請注意，在使用庫恩塔克定理時，偏好的凹/凸是沒有用的，但是需要檢查目標函式/約束的可微性） . 首先，根據 Weierstrass 定理，可以保證 $ U(x_1,x_2) $ 存在於預算集中 $ B(p_1,p_2,w)={(x_1,x_2):p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq w} $ （除非 $ U(x_1,x_2) $ 在給定域中是連續的，即；預算集）。這告訴我們，我們不能排除任何解決方案/最佳點 $ x_1=0 $ 或者 $ x_2=0 $ ， 或兩者。現在，要檢查是否存在角解，我們可以進行如下操作。考慮最大化問題
$$ \begin{gather*} \max\ U(x_1,x_2); \ s.t.\ p_1x_1+p_2x_2\leq w;\ x_1\geq 0, x_2\geq 0.\ \end{gather*} $$ Kuhn Tucker Lagrangian 給出為 $$ \begin{align} L = U(x_1,x_2)+ \lambda(w-p_1x_1+p_2x_2)+ \mu_1 x_1+ \mu_2 x_2. \end{align} $$
Kuhn Tucker 條件如下： $$ \begin{gather*} \frac{\partial L}{\partial x_1}\leq0\tag{1}\ \frac{\partial L}{\partial x_2}\leq0\tag{2}\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}\leq0 ,\ \frac{\partial L}{\partial \mu_1}\leq0\ ,\frac{\partial L}{\partial \mu_2}\leq0\tag{3}\ \lambda\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\tag{4}\ \mu_1\frac{\partial L}{\partial \mu_1}=0\ ,\mu_2\frac{\partial L}{\partial \mu_2}=0\tag{5} \end{gather*} $$
條件中的不等式符號 $ (1) $ 和 $ (2) $ 如果約束是綁定的，則可以用等號替換（您可以從 Simon 和 Blume 閱讀更多關於綁定約束/約束條件的資訊）。
然而，給定的角解問題可以從 $ (5) $ ，其中說 $ \mu_1 x_1=0 $ 和 $ \mu_2 x_2=0 $ . 這些方程告訴我們，任何一個（或兩個） $ \mu_i=0 $ 或其中任何一個（或兩者） $ x_i = 0 $ . 通過一一考慮上述所有情況，我們可以確定是否存在角點解決方案。
例如，如果效用函式給出為 $ U(x_1,x_2) = x_1 + \ln(x_2) $ , 使用庫恩塔克定理得到的解是-
$$ \begin{gather*} x_1= \begin{cases} \frac{w}{p_1} - 1,& \text{if } w>p_1\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\ x_2= \begin{cases} \frac{p_1}{p_2} ,& \text{if } w>p_1\ \frac{w}{p_2}, & \text{otherwise} \end{cases} \end{gather*} $$
這種情況下的角點解在任何時候都可以得到 $ w\leq p_1 $ .
