約束優化：將兩個約束合併為一個
考慮以下問題
$$ \begin{align} &\max_u F(x,u)\ \text{s.t. }& u \in [0,\bar u]. \end{align} $$ 知道如何合併這兩個約束 $ u \geq 0 $ 和 $ \bar u - u \geq 0 $ 成一個約束 $ f(u,\bar u) \geq 0 $ ?
$$ 0\leq u \leq \bar u \implies -\frac {\bar u}{2} \leq u - \frac {\bar u}{2} \leq \frac {\bar u}{2} $$ $$ \implies \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \leq \frac {\bar u}{2} $$ $$ \implies \frac {\bar u}{2} - \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \geq 0 $$ 附錄 在評論中建議我們可以改為使用平方表達式來實現處處可微性，
$$ \frac {\bar{u}^2}{4} - \left ( u - \frac {\bar u}{2}\right)^2 \geq 0 $$ 讓我們看看：然後我們可以分解正方形並寫
$$ \frac {\bar{u}^2}{4} - u^2 + u\bar u - \frac {\bar{u}^2}{4} \geq 0 $$ $$ \implies -u^2 + \bar u u \geq 0 \implies u(\bar u -u) \geq 0 $$ 這只不過是兩個獨立約束的乘積。
附錄二
如果我們有 $ u \in [a,b] $ 為了 $ a<b $ 任意實數，則一般表達式為
$$ -u^2+(a+b)u-ab\geq 0 $$