矛盾的FOC和最大化的解決方案
我必須最大化以下功能 -
$ \max_{x \in (0,1)} (((p_1x)^{2r} + (p_2(1-x))^{2r})/2)^{1/r} $
在哪裡， $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 從均勻分佈中抽取
$$ 0,1 $$並且被認為是針對這個最大化問題給出的。 FOC 給出為 - $ \frac x {1-x} $ = $ {(p_2/p_1) }^{2r/{2r-1}} $
我的問題是——
每當 $ p_1 $ > $ p_2 $ , FOC 認為 x 的值應該 < 1/2 但這並沒有使函式最大化。相反，解決方案應該是 x>1/2。為什麼 FOC 解決方案沒有最大化目標函式。我做錯了什麼？
正如 Bertrand 在他的 +1 評論中提到的那樣，這是因為 FOC不會告訴您最大值或最小值出現在哪裡。這是一些學生普遍存在的誤解，但它根本不成立。
FOC 為您提供靜止點的位置。他們給你點在哪裡 $ df(x,y)/dx = df(x,y)/dy= 0 $ .
最大值或最小值將出現在以下點 $ df(x,y)/dx = df(x,y)/dy= 0 $ ，但鞍點也是如此。FOC 無法區分點是最大值、最小值還是鞍點，它只能告訴您您找到了斜率為零的點。
更重要的是，一個函式可以有多個局部最大值/最小值和鞍點。在優化中，您通常希望找到全域最大值而不僅僅是局部最大值。您可以在下圖由 Sydsæter、Hammond 和 StrØm 從 EMEA 中看到這一點。
如果您想知道該點是最大值還是最小值，您需要檢查二階條件（SOC），它告訴您函式是凹的還是凸的（或者有些人喜歡稱之為凹下）然後基於凹度您可以推斷它是局部最大值、最小值還是鞍點的函式。對於非約束（例如，拉格朗日 SOC 不同），多變數優化 SOC 由下式給出：
如果滿足以下條件，則函式將是凹函式（暗示局部最大值） $ C^2 $ 作用於 $ \mathbb{R}^2 $ 滿意：
$$ f_{11}’’(x, y) \leq 0, f_{22}’’(x, y) \leq 0, \text{ and } f_{11}’’(x, y)f_{22}’’(x, y) − (f_{12}’’(x, y))^2 \geq 0 $$
如果滿足以下條件，則函式將是凸函式（暗示局部最大值） $ C^2 $ 作用於 $ \mathbb{R}^2 $ 滿意：
$$ f_{11}’’(x, y) \geq 0, f_{22}’’(x, y) \geq 0, \text{ and } f_{11}’’(x, y)f_{22}’’(x, y) − (f_{12}’’(x, y))^2 \geq 0 $$
但是，上述條件僅告訴您是否找到了局部最小值或最大值。為了找到全域最大值/最小值，您必須檢查所有最大值或最小值以及函式的邊界（例如，最大值可能出現在某些端點上，例如 $ y=x+10 $ 在區間上定義 $ x\in[0,10] $ 將在上邊界有最大值 $ x=10 $ 即使 FOC 在 $ X=10 $ ) 並檢查其輸出值中的最高值或最低值（儘管大多數介紹性問題通常會設置為只有一個最大值或最小值 - 這可能是為什麼有些學生將 FOC 混淆為最大值或最小值的條件而不僅僅是條件對於固定點）。
