有效邊界集的推導（馬科維茨問題）
我想找到 Markowitz 問題的有效邊界集的推導：
為了解決這個約束最小化問題，首先形成拉格朗日函式
$$ \begin{align} L(w,\lambda_1,\lambda_2)=w’\Sigma w + \lambda_1(w’\boldsymbol{\mu}-m) + \lambda_2 (w’\boldsymbol{1}-1). \end{align} $$ 最小值的一階條件由下式給出
$$ \begin{align} \frac{\delta L(w,\lambda_1,\lambda_2)}{\delta w}&=2 \Sigma w + \lambda_1 \boldsymbol{\mu} + \lambda_2 \boldsymbol{1}=\boldsymbol{0} \ \frac{\delta L(w,\lambda_1,\lambda_2)}{\lambda_1}&=w’\boldsymbol{\mu}-m=0 \ \frac{\delta L(w,\lambda_1,\lambda_2)}{\lambda_2}&=w’\boldsymbol{1}-1=0. \end{align} $$ 這個使用矩陣代數的線性方程組可以表示為
$$ \begin{align} \begin{bmatrix} 2\Sigma & \boldsymbol{\mu} & \boldsymbol{1} \ \boldsymbol{\mu}’ & 0 & 0 \ \boldsymbol{1}’ & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \ \lambda_1 \ \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \ m \ 1 \end{bmatrix}, \end{align} $$ 或者 $$ \begin{align} \boldsymbol{A}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{b}, \end{align} $$ 在哪裡 $$ \begin{align} \boldsymbol{A}:=\begin{bmatrix} 2\Sigma & \boldsymbol{\mu} & \boldsymbol{1} \ \boldsymbol{\mu}’ & 0 & 0 \ \boldsymbol{1}’ & 0 & 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{z}:= \begin{bmatrix} w \ \lambda_1 \ \lambda_2 \end{bmatrix} \boldsymbol{b}:= \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \ m \ 1 \end{bmatrix}. \end{align} $$ 解決方案 $ \boldsymbol{z} $ 然後由 (A 具有滿秩，因此是可逆的) 給出 $$ \begin{align} \boldsymbol{z}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b} \end{align} $$ 第一個元素 $ \boldsymbol{z} $ 為您提供一組不同 m 的有效投資組合。