在具有未定義消費函式的新凱恩斯模型框架中推 導最優條件
我試圖在新凱恩斯模型框架中解決家庭的優化問題，其中效用由
$$ E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^t \mathcal{U}(C_t,L_t,N_t;Z_t) $$ 週期效用定義為 $ \mathcal{U}(C,L,N;Z)=(U(C,L)-V(N))Z $ .
$ U(\cdot) $ 正在增加和凹入， $ V(\cdot) $ 是增加和凸的和 $ h(L/C)\equiv U_l/U_c $ 是一個連續遞減函式，滿足 $ h(\bar{\varkappa})=0 $ 對於一些 $ 0<\bar{\varkappa}<\infty $ .
$ L_t\equiv M_t/P_t $ 並且假設 $ C_t,N_t,L_t\geq 0 $ 對於所有 t。
家庭的預算約束序列由下式給出 $$ P_t C_t+B_t+M_t=B_{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_t N_t+D_t-P_t T_t $$ 為了 $ t=0,1,2,… $ 我們通過強加來排除龐氏騙局 $$ \lim_{T\to\infty}\Lambda_{0,T}\mathcal{A}T\geq0 $$ 和 $ \mathcal{A}T\equiv [B{t-1}(1+i{t-1})+M_{t-1}]/P_t $ 作為家庭在 t 期開始時的實際經濟工資。 $ W_t $ 是名義工資和 $ D_t $ 是公司支付的股息。
我應該達到以下最優條件
- 歐拉方程： $ U_{c,t}=\beta(1+i_t)(P_t/P_{t+1})U_{c,t+1} $
- 跨期勞動力供給： $ W_t/P_t=V_{n,t}/U_{c,t} $
- 貨幣需求時間表： $ h(L_t/C_t)=i_t/(1+i_t) $
結合橫向條件： $ \lim_{T\to\infty}\Lambda_{0,T}\mathcal{A}_T=0 $
如何設置拉格朗日？
我不太確定是什麼 $ Z $ 代表這個模型（看起來像是標準實用程序的某種乘數），但我通常可以猜到其餘的。 $ C $ 代表消費， $ L $ 對於真錢持有， $ N $ 工作時間， $ B $ 是一期債券， $ M $ 是名義上的錢， $ W $ 是工資， $ D $ 是股息，並且 $ T $ 是稅。
$ U(C,L) $ 表示從消費和實際貨幣持有中獲得的效用，而 $ V(N) $ 是工作的負效用。將問題改寫如下，
$$ \underset{C_t,N_t, L_t, B_t}{\max} E_0\sum^{\infty}{t=0}\beta^t\mathcal U(C_t,L_t,N_t;Z_t) \ \text{subject to} \ P_tC_t+M_t+B_t\leq B{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_tN_t+D_t-P_tT_t $$
您現在可以設置拉格朗日 $$ \mathcal L= E_0\sum^{\infty}{t=0}\beta^t\mathcal U(C_t,L_t,N_t;Z_t) + \lambda_t [B{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_tN_t+D_t-P_tT_t-P_tC_t-M_t-B_t] $$ 對選擇變數取偏導數，
$$ {\partial \mathcal L\over \partial C_t}=\beta^tZU_{C,t}-\lambda_tP_t \tag{1} $$ $$ {\partial \mathcal L\over \partial N_t}= -\beta^tZV_{N,t}+W_t \tag{2} $$ $$ {\partial \mathcal L\over \partial L_t}=\beta^tZU_{L,t}-\lambda_t P_t+\lambda_{t-1}P_{t-1} \tag{3} $$ $$ {\partial \mathcal L\over \partial B_t}= \lambda_{t+1}(1+i_t)-\lambda_t \tag{4} $$
用等式求解（我將留給您完成練習的步驟），您可以從 (1) 和 (4) 推導出歐拉方程。顳內勞動力供給可以從（1）和（2）推導出來。最後，貨幣需求表可以從（1）、（3）和（4）推導出來。