使用庫恩-塔克條件的經濟學優化問題的難度（解釋難度）

我無法正確解決以下問題：

一家公司希望最小化其總成本，條件是從銷售數量中獲得的收入 $ x_1, x_2 $ 它生產的兩種產品中超過了某個最低門檻值。知道製造每件商品的單位成本是生產輸出的線性函式，形式為 $ C_1 = x_1, C_2 = 2x_2 $ , 所生產的一切都被出售，並且產品的銷售價格為： $ p_1 = 1 $ 和 $ p_2 = 3 $ ， 分別。確定數量 $ x_1, x_2 $ 最大限度地降低過程的成本。

解決方案：

$ x_1 = 6/11 $

$ x_2 = 9/11 $

$ \lambda = -12/11 $

$ TotalCost(x_1,x_2) = 18/11 $

我試圖通過常用的方法來解決它：使用帶有 Kuhn-Tucker 條件的拉格朗日函式。但是，儘管我嘗試了幾次，但我無法找到正確的解決方案。我認為我沒有正確建構拉格朗日函式，因為沒有正確理解問題想要我解決的經濟含義。

因此，如果您能幫助我了解如何為這個特定問題找到正確的解決方案，我將非常感激，因為我知道澄清如何建構拉格朗日函式及其限制可能是完全理解問題及其解決方案所需要的。 .

解決它的方法是將其定義為最大化問題。這是掃描的簡要說明。

1. 制定原問題，用 $ k $ 表示收入（或利潤）門檻值。

2. 將其表示為一個最大化問題（ $ min(f) = - max(-f) $ ）。我還重新說明了收入（或利潤）條件，儘管這可能是不必要的（見下文）。

3. 制定拉格朗日。

4. 得到拉格朗日的偏導數。

5. 使導數等於零並求解 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ .

6. 上一步導致 $ x_1=2x_2 / 3 $ .

7. 代替 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 在收入（或利潤）條件下。

8. 上一步導致最優 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ .

9. 替代最優 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 在原來的問題。

看來問題使用 $ k=3 $ 作為收入（或利潤）的最低門檻，因為該門檻給出 $ TotalCost=18/11 $ , $ x_1=6/11 $ ， 和 $ x_2=9/11 $ .

我不確定如何理解負 λ，但是（正） $ 12/11 $ 源於條件（在步驟 5 中） $ 2x_1=λ $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/23899