成本最小化和利潤最大化的二元性
公司試圖最大化利潤 $ \Pi $
$$ \begin{align} \max_{K,L}{\Pi(K,L) = F(K,L) - RK - wL} \end{align} $$ 在哪裡 $ F $ 是線性齊次生產函式， $ R $ 資本租金率 $ K $ 和 $ w $ 勞動力的租金（工資） $ L $ . FOC 由下式給出 $$ \begin{align} \Pi_K &= 0 \Leftrightarrow R = F_k\ \Pi_L &= 0 \Leftrightarrow w = F_L. \end{align} $$Acemoglu (2009) 第 33 頁的腳註 1告訴我們，FOC 也可以通過成本最小化得出。
(2.6) 和 (2.7) 為 $ w=F_L $ 和 $ R=F_K $ 分別。公司試圖最小化成本
$$ \begin{align} &\min_{K,L}{RK + wL}\ \text{s.t.}~~& F(k,L) = Y \end{align} $$ 在哪裡 $ Y $ 是一些輸出電平。設置拉格朗日 $$ \begin{align} \mathcal{L} = RK + wL + \lambda(F(K,L) - Y) \end{align} $$ FOC 由下式給出
$$ \begin{align} \mathcal{L}_K = 0& \Leftrightarrow R + \lambda F_K = 0\ \mathcal{L}L = 0& \Leftrightarrow w + \lambda F_L = 0\ \mathcal{L}\lambda = 0& \Leftrightarrow F(K,L) - Y = 0 \end{align} $$
- 我不明白，我們如何推測 $ R = F_K $ 和 $ w = F_L $ 從那些條件？
如果 $ F(K,L) $ 是一階齊次函式，那麼是
$$ \Pi(K,L) = F(K,L) - R \cdot K - w \cdot L. $$ 這直接來自同質性的定義。（可以在此處找到齊次函式的定義。）這意味著如果存在最大利潤，則它為零。否則，您可以將所有投入增加 100%，從而增加收入和成本，從而增加 100% 的利潤。所以 $ \Pi(K^,L^) = 0 $ . 根據歐拉齊次函式定理，我們有 $ \forall K,L $ :
$$ \begin{align} \Pi(K,L) &= \Pi_K(K,L) \cdot K + \Pi_L(K,L) \cdot L \ \Pi(K,L) &= (F_K(K,L) - R) \cdot K + (F_L(K,L) - w) \cdot L. \end{align} $$ 自從 $ \Pi(K^,L^) = 0 $ ， 我們有
$$ -(F_K(K^,L^) - R) \cdot K^* = (F_L(K^,L^) - w) \cdot L^* $$ 我們知道 $ K^,L^ \geq 0 $ , 所以如果我們可以證明 $ (F_K(K^,L^) - R) $ 和 $ (F_L(K^,L^) - w) $ 匹配我們將證明它們等於零。否則等式的一側是負數，另一側是正數。從成本最小化你有 $$ \begin{align} R + \lambda F_K & = 0\ w + \lambda F_L & = 0. \end{align} $$ 如果 $ \lambda >1 $ 然後 $$ \begin{align} F_K(K^,L^) - R & < 0\ F_L(K^,L^) - w & < 0, \end{align} $$ 如果 $ \lambda =1 $ 然後 $$ \begin{align} F_K(K^,L^) - R & = 0\ F_L(K^,L^) - w & = 0. \end{align} $$ 而如果 $ \lambda <1 $ 然後 $$ \begin{align} F_K(K^,L^) - R & > 0\ F_L(K^,L^) - w & > 0, \end{align} $$ 所以符號確實匹配，因此
$$ \begin{align} F_K(K^,L^) - R & = 0\ F_L(K^,L^) - w & = 0. \end{align} $$