動態優化：如果二階條件不成立怎麼辦？
考慮以下動態優化問題
$$ \begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align} $$ FOC
哈密頓量由下式給出
$$ \begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align} $$ 最優性的必要條件由最大原則給出 $$ \begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align} $$ 認為 $ u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda) $ 是一個最大化器，即 $ H_{uu} < 0 $ .
SOC
阿羅充分定理指出，如果最大化哈密頓量，則必要條件是充分的
$$ \begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align} $$ 是凹進去的 $ x $ ，即如果 $ H_{xx} < 0 $ . 問題
假設 FOC 成立，但 SOC 未能成立。
- 關於解決方案的最優性可以說什麼？
沒有單一的答案，這將取決於每個問題的具體情況。讓我們看一個標準的例子。
考慮 Ramsey 模型的基準跨期優化問題
$$ \begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\ \ & \text{s.t.};; \dot{k} = i-\delta k\ & \text{s.t.};; y = f(k)=c+i \end{align} $$ 目前值哈密頓量是
$$ \tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k] $$ 最大化 $ c $ 只有我們有
$$ \frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u’(c) - \lambda =0 \implies u’(c^) = \lambda \implies c^ = (u’)^{-1}(\lambda) $$ 如果效用函式是凹的，則二階條件成立，
$$ \frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u’’(c^*) < 0 $$ 此外，從關於消費的一階條件， $ \lambda >0 $ 如果局部不滿足成立。假設我們確實有這樣的“通常”偏好。
最大化的過度消費哈密頓量是
$$ \tilde H^0 = u[(u’)^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u’)^{-1}(\lambda)-\delta k] $$ 關於狀態變數的偏導數， $ k $ 是
$$ \frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f’(k) - \delta], ;;;; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f’’(k) $$ 所以在這裡，Arrow-Kurz 充分條件歸結為資本的邊際產品是減少、不變還是增加（這將取決於生產函式的二階導數的符號）。在標準情況下 $ f’’(k) < 0 $ 並且我們有充分條件。
在最著名的偏差案例中，羅默的 $ AK $ 啟動內生增長文獻的模型， $ f’’(k) =0 $ ，資本的邊際產量為正常數。
那麼在這種情況下我們能說什麼呢？
在這裡， Seierstad, A. 和 Sydsaeter, K. (1977)。最優控制理論中的充分條件。國際經濟評論，367-391。提供可以幫助我們的各種結果。
特別是，他們證明瞭如果哈密頓量在 $ c $ 和 $ k $ , 是最大值的充分條件。哈密頓量的 Hessian 是
（我們可以忽略折扣項）
$$ {\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u’’(c) & 0\ 0 & \lambda f’’(k)\ \end{matrix} \right] $$ 在標準情況下 $ u’’(c) <0, ; f’’(k) <0 $ 這是一個負定矩陣，因此哈密頓量在 $ c $ 和 $ k $ .
什麼時候 $ f’’(k) =0 $ ，檢查矩陣是負半定的很容易使用定義。考慮一個向量 $ \mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2 $ 和產品
$$ \mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u’’(c) \leq 0 $$ 這種微弱的不等式成立 $ \forall \mathbf z \in \mathbb R^2 $ , 所以 Hessian 是共同凹的 $ c $ 和 $ k $ .
所以在 $ AK $ 內生增長模型，解決方案確實是一個最大值（當然，受制於問題明確定義所需的參數約束）。