動態規劃，最優消費節約（有限範圍）問題
讓 $ w_t $ 表示消費者當時的財富 $ t $ 和 $ c_t $ ，她選擇消費的金額，所以她在這段時間內的儲蓄是 $ w_t-c_t $ . 鑑於這個儲蓄決定，她的儲蓄 $ w_{t+1} $ 有時 $ t+1 $ 由隨機過程確定，其中 $ w_{t+1}=\alpha w_t $ 或者 $ w_{t+1}=\beta w_t $ ， 在哪裡 $ \alpha,\beta $ 是正常數，每個都有機率 $ \dfrac{1}{2} $ 並且獨立於她過去的儲蓄回報率。當時 $ t $ ，當她選擇 $ c_t $ ， 她知道 $ w_t $ 但除了剛剛給出的機率定律，她對未來回報一無所知；當然，她確實知道她過去的消費決定，以及過去的回報率。考慮日誌實用程序，即 $ u(t)=ln(c_t) $ 並假設消費者不耐煩，因此他將未來效用貼現一個因子 $ b $ 每個時期，其中 $ 0 < b < 1 $ ，那麼消費者的決策問題可以寫成： $$ v(c_t)=\max_{c_t \geqslant 0}\sum_{t=0}^{T}b^{t}u(c_t) $$
如果消費者不能藉貸，那麼消費者的最優消費水平是多少？
$ \underline{Note:} $ 該問題基於 David M. Kreps 的微觀經濟學理論書，但它被調整為有限視野問題。克雷普斯在他的書中以模糊的方式解決了這個問題 $ T=3 $ ，這對我來說並不明顯。但是，由於我對動態程式知之甚少，因為我正在研究這個主題，如果有人可以在有限的範圍內提供解決方案，我將不勝感激。如果問題沒有以嚴格的方式設置，我也會很高興看到有人做出任何適當的改變。我相信這是經濟學領域的一個經典問題。
您的價值函式如下： $$ V_t[w] = \max_{c_t \in[0,w]} \left{u(c_t) + \frac{1}{2}V_{t+1}[\alpha(w_t - c_t)] + \frac{1}{2}V_{t+1}[\beta(w_t-c_t)] \right} $$ 與終止條件 $$ V_{T}[w_T] = \max_{c_T \in [0,w_T]} u(c_T) $$
所以，我們可以通過反向歸納來解決這個問題。顯然，在最後階段 $ T $ ， 自從 $ u $ 是單調的，我們消耗一切，所以 $ V_T[w_T] = u(w_T) = \ln(w_T) $ .
現在讓我們考慮前一個時期，所以時期 $ T-1 $ . 價值函式為： $$ V_{T-1}[w] = \max_{c_{T-1} \in [0,w_{T-1}]} \left{u(c_{T-1}) + \frac{1}{2}V_{T}[\alpha(w_{T-1} - c_{T-1})] + \frac{1}{2}V_{T}[\beta(w_{T-1}-c_{T-1})] \right} $$ 我們已經知道什麼 $ V_T[\cdot] $ 是，所以替代， $$ V_{T-1}[w] = \max_{c_{T-1} \in [0,w_{T-1}]} \left{u(c_{T-1}) + \frac{1}{2}u(\alpha(w_{T-1} - c_{T-1})) + \frac{1}{2}u(\beta(w_{T-1}-c_{T-1})) \right} $$ 考慮案件 $ u(\cdot) = \ln(\cdot) $ , $$ V_{T-1}[w] = \max_{c_{T-1} \in [0,w_{T-1}]} \left{\ln(c_{T-1}) + \frac{1}{2}\ln(\alpha(w_{T-1} - c_{T-1})) + \frac{1}{2}\ln(\beta(w_{T-1}-c_{T-1})) \right} $$ 取一階條件，我們可以得到最優 $ c_{T-1}^*(w_{T-1}) $ .
然後我們解決了什麼 $ V_{T-1}[\cdot] $ 是！然後我們可以通過考慮執行相同的程序 $ V_{T-2} $ . 重複直到我們到達 $ V_0 $ .
編輯以反映評論。你現在知道了 $ c^*{T−1}(w{𝑇−1})=\frac{\alpha\beta}{1 + \alpha \beta}w_{T-1} $ . 重新插入 $ V_{T-1} $ ，我們已經解決了 $ V_{T-1} $ , $$ \begin{align} V_{T-1}[w] &= \ln(\frac{\alpha\beta}{1 + \alpha \beta}w_{T-1}) + \frac{1}{2}\ln(\alpha(w_{T-1} - \frac{\alpha\beta}{1 + \alpha \beta}w_{T-1})) + \frac{1}{2}\ln(\beta(w_{T-1}-\frac{\alpha\beta}{1 + \alpha \beta}w_{T-1})) \ &=\ln(\frac{\alpha\beta}{1 + \alpha \beta}w_{T-1}) + \frac{1}{2}\ln(\alpha(\frac{w_{T-1}}{1 + \alpha \beta})) + \frac{1}{2}\ln(\beta(\frac{w_{T-1}}{1 + \alpha \beta})) \end{align} $$
最後，讓我們現在去 $ T-2 $ . 價值函式是 $$ V_{T-2}[w] = \max_{c_{T-2} \in[0,w_{T-2}]} \left{\ln(c_{T-2}) + \frac{1}{2}V_{T-1}[\alpha(w_{T-2} - c_{T-2})] + \frac{1}{2}V_{T-1}[\beta(w_{T-2}-c_{T-2})] \right} $$ 我們剛剛解決了什麼 $ V_{T-1} $ 是！插上電源，然後重複。
這個表達式可能會很快爆炸，所以解析求解會很痛苦。