預期穩定性：動態系統中 RE 均衡的自適應學習
Evans 和 Honkapohja (2001)（見下文）對預期穩定性概念的解釋有兩個我不明白的步驟。
第1步。
下面這個公式直覺地說是什麼意思，為什麼唯一的理性預期解是 T-map 的唯一不動點。什麼是映射？這是公式 2.7，但是，它只是一個方程或關係或一些特殊的東西？
$$ \frac{d}{d \tau} \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} $$
步驟 2. 他們逐個組件地編寫微分方程組件
$$ \frac{da}{d \tau} = \mu+ (\alpha - 1)a $$
$$ \frac{db_i}{d \tau} = \delta_i + (\alpha - 1)b_i $$
假設我了解 2.8（我不了解），我知道如何得出這個結論。這些推導是什麼意思：da/dtau？ 但是，您如何定義理性預期解是穩定的。他們說： 因此，當且僅當 α <1 時，REE 是 E 穩定的。你怎麼能看到呢？
謝謝！
Evans 和 Honkapohja (2001) 的全部摘錄可以在下面閱讀。
要查看所有不太重要的數學部分，請從第 30 頁（第 2.4 節及以後）查看以下 google 圖書連結：https ://books.google.be/books?id=A7rWCwAAQBAJ&pg=PA40&hl=nl&source=gbs_selected_pages&cad=3 #v=一頁&q&f=假
2.4 預期穩定性
條件 α < 1 可以用一般穩定性原理來解釋，稱為“預期穩定性”或“E 穩定性”。正如我們將看到的，因為這個原理非常普遍地為自適應學習下 REE 的穩定性提供了條件，所以我們現在介紹這個概念。所需的基本概念是從感知運動定律 (PLM) 到實際運動定律 (ALM) 的映射。以最全面的形式表述的 E 穩定性原則是從 PLM 到 ALM 的映射控制學習下均衡的穩定性。更具體地說，從該映射獲得的 E 穩定性條件為 REE 在最小二乘學習下的漸近穩定性提供了條件。我們在這裡專注於為蛛網模型獲取此條件。我們首先假設代理有一個 PLM，他們用它來預測感興趣的變數。通常我們採用PLM的形式來對應感興趣的REE。因此，在目前情況下，我們採用 PLM 的形式
(2.2), pt = a+b
wt-1+ηt 。F
對於 a = ¯a 和 b = ¯b，PLM 將是 REE，但我們允許代理人有“非理性”期望的可能性。對於任何給定的 a 和 b 值，pt 的適當時間-(t -1) 預測由 pe t = a +b wt-1 給出。(2.5)
將方程 (2.5) 代入方程 (2.1)，可以求解 PLM 所隱含的實際運動定律或 ALM：
pt = (μ + αa) + (δ + αb)
wt-1 +ηt 。(2.6)
這隱含地定義了從 PLM 到 ALM 的映射
(2.7)
$$ T \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} \mu+\alpha a \ \delta + \alpha b \ \end{pmatrix} $$
ALM 的解釋是，如果根據 PLM 給出的固定規則進行預測，則它描述了經濟遵循的隨機過程。我們現在可以以適合確定最小二乘學習下 REE 穩定性的形式定義 E 穩定性。首先請注意，我們模型的唯一 REE 是 T-map (2.7) 的唯一不動點。考慮微分方程
(2.8)
$$ \frac{d}{d \tau} \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} $$ (2.8)
其中 τ 表示“名義”或“人為”時間。如果 REE 在方程 (2.8) 下局部漸近穩定，我們說 REE 是預期穩定的或 E 穩定的。直覺地說，E 穩定性決定了 REE 在程式化學習規則下的穩定性，其中 PLM 參數 a 和 b 在隱含的 ALM 參數的方向上緩慢調整。REE ( ¯ a, ¯ b
) 是 E 穩定的，如果來自 (¯ a, ¯ b 的小位移
) 被返回到 (¯ a, ¯ b
) 在此規則下。Evans (1989) 和 Evans and Honkapohja (1992) 介紹了這種形式的預期穩定性。下文將討論在文獻中較早出現的與迭代期望穩定性密切相關的概念。為了確定我們範例中的 E 穩定性，將方程 (2.7) 和 (2.8) 組合起來，逐個分量地寫出微分方程，得到
$$ \frac{da}{d \tau} = \mu+ (\alpha - 1)a $$
$$ \frac{db_i}{d \tau} = \delta_i + (\alpha - 1)b_i $$
其中n是w的維數。因此，REE 是 E 穩定的當且僅當 α <1。請注意，這正是 Bray 和 Savin 獲得的最小二乘學習收斂條件。E 穩定性和最小二乘學習收斂之間的聯繫非常普遍，適用於非常廣泛的模型。這是一個很大的優勢，因為 E 穩定性條件通常很容易解決，而對計量經濟學學習收斂性的技術分析則涉及更多。
這是很多問題。好的，讓我們一步一步來：
（Q1）實際上什麼是映射？
地圖只是函式的另一個術語。在這裡，每一個“運動定律”，即實際的 (ALM) 和感知的 (PLM)，都以其參數為特徵 $ a $ 和 $ b $ . ALM 依賴於 PLM，將 PLM 參數映射到 ALM 參數的函式由下式給出 $ T(.) $ 在（2.7）中。
(Q2) 為什麼唯一理性期望解是唯一不動點 $ T $ -地圖？
如果期望是理性的，即在 REE 中，PLM 與 ALM 相同，我們將它們表示為 $ \begin{pmatrix} a^* \ b^* \end{pmatrix} $ . 這意味著 $ T \begin{pmatrix} a^* \ b^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^* \ b^* \end{pmatrix} $ . 因此， $ \begin{pmatrix} a^* \ b^* \end{pmatrix} $ 是一個不動點 $ T $ .
(Q3) 下面這個公式是什麼$$ i.e., (2.8) $$意思是，直覺地？
如果您從與 ALM 不同的 PLM 開始，您將“學習”隨著時間推移的真實運動規律 $ \tau $ . 也就是說，您可以在目前 ALM 的參數方向上慢慢調整 PLM 的參數。在參數空間中，這意味著您的參數點 $ \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} $ 向目前的 ALM 移動，由下式給出 $ T \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} $ . 因此，運動方向（即速度矢量 $ \frac{d}{d\tau}\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} $ ) 在參數空間中由向量給出 $ T \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} $ . 等式（2.8）只是正式地說明了這一點；它是參數的學習動態。
（Q4）：這些推導是什麼意思：da/dtau？
$ \frac{da}{d\tau} $ 只是參數的速度 $ a(\tau) $ 在狀態空間中學習。
（Q5）：您如何定義理性預期解是穩定的？
他們將REE 的E 穩定性定義**為學習動態 (2.8) 下REE 的局部漸近穩定性。
（Q6）：他們說：REE 是 E 穩定的當且僅當 α <1。你怎麼能看到呢？
一般來說，固定點 $ X^* $ 形式的動力學 $ \frac{d}{d\tau}X(\tau)=F(X(\tau)) $ 如果動力學的線性化（即雅可比矩陣）在 $ X^* $ 具有所有具有負實部的特徵值。在 (2.7) 和 (2.8) 給出的情況下，雅可比矩陣是具有對角元素的簡單對角矩陣 $ \alpha-1 $ ，因此也是特徵值。那些是負的當且僅當 $ \alpha < 1 $ .
直覺地說，微分方程組的每個分量都有以下形式 $ \frac{dx}{d\tau} = f(x)-x $ . 這是一個簡單的一維動力學：一個不動點 $ x^* $ 是局部漸近穩定的，如果 $ x(\tau) $ 下降 （ $ \frac{dx}{d\tau} < 0 $ ， IE $ f(x)<x $ ) 當它高於 $ x^* $ 並增加（ $ \frac{dx}{d\tau} > 0 $ ， IE $ f(x)>x $ ) 如果低於 $ x^* $ . 這只是意味著在固定點 $ x^* $ , $ f(x) $ 在局部減少 $ x $ ，即它的斜率為負。在手頭的情況下，對於每個組件，這個斜率是 $ \alpha - 1 $ ，所以斜率為負意味著 $ \alpha < 1 $ .