根據可能性找到要銷售的最少物品數量以實現目標
假設我有一個項目，我需要達到一些目標才能成功，比如說 50,000 美元
我賺取的方式是通過一次不同級別的捐款。1、5、7.5（部分打折商品）、10、15、20、25。
如果我說我想要最少數量的承諾，那麼顯然我希望盡可能多地賣出 25 美元的物品。
但實際上，有某種分佈告訴我我能夠銷售每種類型的物品的可能性有多大。例如，如果這是一個 kickstarter 項目，通常會有更少的高級別投標和更多的低級別投標。至於如何獲得這類資訊，假設我找到了一個模型，或者我可以根據對一個人選擇承諾級別的相對潛力的一些合理猜測，自己畫出直方圖。
我的問題是，考慮到人們傾向於如何承諾的一些可能性，我如何弄清楚如何達到這個特定目標？也許假設我假設無論有多少人最終出價，分佈都是相同的。所以我想我真的想找到必要的最低投標數量，考慮到某些投標實際被出售的可能性。
我問這個的原因是因為我想嘗試以某種方式量化曝光的重要性。人們看到的東西越多，他們就有可能感興趣，即使他們感興趣，他們也會選擇適合他們的等級項目，這通常是低的。我知道在不考慮項目本身質量的情況下考慮這一點可能有點愚蠢，但我想知道是否考慮這一點可以提供一些關於進行適當行銷的重要性的見解。
我也對反向問題感興趣。假設我只能接觸到大約 5000 人，基於這樣一個事實，與我類似的項目可能只有平均水平的人支持他們。有沒有辦法弄清楚如何以堅持目標的方式塑造分佈以達到目標？或者也許從我的初始分佈開始，看看如何盡可能少地變形以達到目標？
謝謝
讓我們從一個只有一個承諾級別的環境開始。手頭的問題是：我們如何選擇該水平的美元金額以最大化收入（收入）？
觀察 1：您的機率分佈意味著一條需求曲線。
我們可以繪製出承諾意願的累積分佈，它可能大致如下所示（正如您推測的那樣，大部分質量在底部）：
這 $ y $ 該圖中的價值告訴我們給定個人的承諾意願（WTP）不大於美元價值的機率 $ x $ 軸。
通過顛倒這個，我們得到somone願意支付至少這麼多的機率：
例如，這告訴我們，隨機選擇的個人願意承諾至少10 美元的可能性約為 55% 。如果我們選擇 100 人，那麼平均而言，其中 55 人會承諾。因此，我們可以將縱軸視為衡量質押數量的間接方式，對應於橫軸上的質押水平（或*價格）。*如果我們交換兩個軸，我們會得到一個看起來非常像教科書需求曲線的東西：
鑑於這條需求曲線，我們可以使用標準壟斷優化問題中的所有常用工具，這些工具可以在經濟學入門教科書中找到。例如，如果第一個圖中的 CDF 由函式給出 $ F $ 然後
$$ \Pr(\text{WTP}>x)=1-F(x) $$所以設定質押水平的收入為 $ x $ 當觀眾由 $ n $ 潛在的質押者是 $ R(x)=[1-F(x)]xn $ . 就像標準壟斷者的問題一樣，我們可以通過將邊際收益設置為零來計算收益最大化的質押水平（“價格”）： $$ R’(x)=n[1-F(x)]-xnF’(x)=0. $$ 用你的經驗分佈代替 $ F $ 在這個方程中並求解 $ x $ 提供您的最佳承諾水平。
現在，如果我們允許多個質押級別，那麼事情就會變得更加複雜。首先，我們需要一個關於人們行為的模型，以及為什麼有些人可能比其他人承諾更多。
例如，如果我們在類似 Kickstarter 的環境中工作，那麼主要動機將是獲得更高質押等級帶來的好處。但這意味著我們不僅需要一個承諾水平的模型，還需要你得到的回報。對此的完整處理超出了此答案的範圍，但可以在Hal Varian的“版本控制資訊商品”中找到相當易讀的摘要。如果您想要更詳細的技術處理，那麼最好的地方是Salanie的“契約經濟學：入門”。
我將提供一個雄心勃勃的答案，並說您可以將您的 Kickstarter 問題“概括”為（非常特殊的）拍賣。我說拍賣是因為你大概可以在一個基本連續的規模上進行質押，雖然有分層獎勵，但你也在與其他人一起競標完成一件物品，並且想必人們知道這個物品的完成情況。
除了作為多商品拍賣之外，您希望為每個分層獎勵設置最佳保留價格，並且我假設每個較高層都可以從較低層中獲得所有東西，儘管您生產的最終商品可能不是公共商品，讓我們說有一個層次，如果你承諾那麼多，你可以在完成後獲得最終產品的訪問權/所有權。對於您希望出價多少以確保項目完成，可能會有某種搭便車效應，因為像這樣的嚴肅項目通常會有很多投標人。
超出該等級的投標是減去其他等級獎勵的價值，只是在項目完成時進一步投標。我們是否可以認為超出這個水平的出價在那時有助於排他性的公共產品？我會猶豫將那些更高的出價指定為風險資本。如果是這種情況，您可以在此處找到為此類商品定價的數學框架，即為排他性公共商品定價的類似拍賣機制。它討論瞭如何相對於人們的預訂價格為我認為您的商品定價。
“我們研究不可分割和排他性公共產品的策略證明機制設計問題。”
（本文的參考資料也非常好，例如 Clarke 關於多部分定價的文章，這聽起來與您的分層激勵結構非常相關。）
您主要關心的仍然是找到投標人所在的分佈。我認為你是對的，你最終不得不猜測分佈是什麼樣的。您還談到分發是否會根據看到該項目的人數而改變。我的懷疑是，分配將更多地傾向於支付意願的低端，觀眾較少，並且隨著更多人看到該項目（及其投標人），更多人將願意為該項目提出更大的投標，所以分佈會慢慢地向高端“長出尾巴”。