如何估計退休期權價值模型的參數？
我正在模擬退休的期權價值模型，例如參見 Stock and Wise (1990)。然而，我不確定這個模型屬於哪一類問題，因此我應該考慮使用哪種優化方法來解決這個問題。為了澄清我的意思，我將首先描述模型：
目標是找出在特定年份退休的機率，以及參數 $ \rho $ , $ \gamma $ , $ k $ , $ \beta $ 在：
$$ \begin{eqnarray} Pr[\text{retire}t] & = & Pr[ g_t( r^{}_t ) / K_t( r^{}t ) < - v_t ], \ v{s} & = & \rho v{s-1} + \epsilon_t \ g_t(r_t) & = & \sum^{r-1}{s=t} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t(Y_s^{\gamma}) + \sum^{S}{s=r} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t( [k B_s(r)]^{\gamma} ) \ & - & \sum^{S}{s=r} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t( [ k B_s(t)]^{\gamma} ), \ K_t( r_t ) & = & \sum^{r-1}{s=t} \beta^{s-t} \pi(s|t) \rho^{s-t}, \ v_t & = & (\omega_t - \xi_t ) \end{eqnarray} $$ 這裡 $ Y_s $ 是未來的工資和 $ B_s(t) $ 是退休收入 $ \pi(s|t) $ 給定一個人生活在 s 年的機率 $ t $ . $ r^{*}t $ 是未來收入流價值最大化的年份。如果到了退休年齡，未來收入流的價值 $ r $ 是（誰）給的： $$ \begin{eqnarray} V_t(r) & = & \sum^{r-t}{s=t} \beta^{s-t} U_w(Y_s) + \sum^{S}{s=r} \beta^{s-t} U_r[B_s(r)], \ U_w(Y_s) & = & Y_s^{\gamma} + \omega_s, \ U_r(B_s) & = & [ k B_s(r)]^{\gamma} + \xi_s, \ \omega_s & = & \rho \omega{s-1} + \epsilon_{\omega,s} \ \xi_s & = & \rho \xi_{s-1} + \epsilon_{\xi, s} \end{eqnarray} $$ 通常可以通過將其視為動態因子模型或最大概似來解決此類問題。然而總和 $ \sum $ 使其成為“最佳”退休日期變得棘手 $ r $ 本身就是一個參數。
所以簡而言之，你會如何分類這個問題以及你推薦哪些優化技術？您是否知道軟體包或知道我在哪裡可以找到解決此問題的程式碼？
您是否嘗試過在 t_1=退休年齡時具有名義 N 的按市值計價的掉期期權？
從 t_0=契約簽署直到 t_1，您收到利率 r_payments 並支付無風險/投資利率。然後您支付預定義的利率 r_retirement 並支付無風險/投資利率，直到 t_2=死亡時間。
從您的角度來看，您面臨由生存率給出的交易對手違約風險（死亡），恢復名義價值為 N。如果您不以無風險利率進行投資，那麼您是敏感的，此外，您投資的交易對手的信用風險。您正在產生（違約）自己的信用風險。
所有輸入參數實際上都是已知的，特別是如果您不使用無風險利率，信用風險可通過利差建模。
此外，名義上的 N 可能是一個更好的函式，由於缺少付款，它不一定與 (t_1-t_0) 成比例，並且您也可能通過調整 r_payments 來超越它。
原則上，這似乎是策略迭代的工作。在期權定價中，我們可以對早期行使條件（或其他中間停止時間）使用策略迭代，例如，here和here。
在實踐中，由於您的辨識問題 $ r^* $ 只是一維和整數值，您可能會發現簡單地迭代潛在值更快更容易 $ r^* $ 確定最佳的一個作為優化過程的內循環 $ \rho, \gamma, k, \beta $ .
也就是說，您適合確定參數的目標函式的程式碼如下所示：
myObj(rho, gamma, k, beta, observedProb) { for r in (1:100) { retireValue[r] = V_t(r) } rStar = argmax( retireValue ) dist = modelRetirePro(rStar, rho, gamma, k, beta) - observedProb return dist*dist }