如何證明這一點？（凸優化）
考慮以下最大化問題：
- $ \max_{x} x -\gamma p(x) $ 受制於 $ x \in \Omega_1 $
- $ \max_{x} x-\gamma (p(x) + q(x) )+K $ 受制於 $ x \in \Omega_2 $
在哪裡 $ \Omega_1 $ 和 $ \Omega_2 $ 是凸集， $ p(x) \geq 0 $ 和 $ q(x) \geq 0 $ 對全部 $ x\in \Omega_2 $ . 還， $ p’’(x)>0 $ 和 $ q(x) $ 是線性的 $ x $ 和 $ K>0 $ 是一個常數。
如果給定 $ \gamma = \bar{\gamma} $ , 問題 1 的優化目標值大於問題 2 的優化目標值, 問題 1 的優化目標值是否總是大於問題 2 的優化目標值 $ \gamma > \bar{\gamma} $ ?
(1) 證明或提供反例 $ \Omega_1= \Omega_2 $ (2) $ \Omega_1 \subset \Omega_2 $ .
由於較高的懲罰與 $ \gamma $ 強加給問題 2 的目標函式，這種說法似乎是正確的。我嘗試使用矛盾，其中假設存在 $ \gamma’>\bar{\gamma} $ 使得問題 2 的優化值大於問題 1 的優化值，但在掙扎。如何證明這一點？
拿 $ \Omega_1=\Omega_2=[0,0.5] $ .
讓 $ p(x)=x^4 $ ， 以便 $ p’’(x)=12x^2>0 $ 在 $ (0,0.5) $ .
讓 $ q(x)=0.5x $ ，這是線性的 $ x $ ， 和 $ K=0.2>0 $ .
為了 $ \bar\gamma=1 $ , 兩個目標函式在 $ x=0.5 $ . 如下圖所示，目標函式 $ (1) $ （藍色曲線）的最大值高於目標函式的最大值 $ (2) $ （紅色曲線）。
但對於 $ \gamma=5>\bar\gamma $ , 目標函式 $ (1) $ 達到大約的最大值 $ 0.276 $ , 而目標函式 $ (2) $ 達到大約更高的最大值 $ 0.309 $ ，與以下說法相矛盾 $ (1) $ 的最大值總是大於 $ (2) $ 的最大值 $ \gamma>\bar\gamma $ .
