如何最小化C在一個R一個(分鐘(X,d))C在一個R一個(分鐘(X,d))CVaR_{alpha}(min(X,d))， 在哪裡XXX是隨機變數，d 是決策變數？
如何解決以下問題，
$$ \min_{d \in \mathbb{R}^{+}} \text{CVaR}{\alpha}(\min(X,d)) $$, 其中, X 是一個隨機變數, 其分佈函式 $ f{X}(x) $ 給出並且 $ d $ 是決策變數。
最小值總是在 $ d=0 $ .
在這個證明中，我將假設隨機變數的分佈 $ X $ 絕對連續且單調遞增，因此的 CDF $ X $ 是可逆的（儘管我相信結果普遍成立）。
使固定 $ \beta\in(0,1) $ . 我們有那個
$$ \Psi(d,\alpha)\equiv\int_{\min{d,x}\leqslant\alpha}p(x)dx=\begin{cases}1,&d\leqslant\alpha,\F(\alpha),&d>\alpha,\end{cases} $$ 在哪裡 $ p $ 和 $ F $ 是隨機變數的 PDF 和 CDF $ X $ ， 分別。
根據定義， $ \text{VaR}_\beta(\min{X,d})=\min{\alpha\in\mathbb{R}\ |\ \Psi(d,\alpha)\geqslant\beta} $ . 通過檢查，我們有
$$ \text{VaR}_\beta\big(\min{X,d}\big)=\min{d,F^{-1}(\beta)}. $$ 然後根據 CVaR 的定義：
$$ \text{CVaR}\beta\big(\min{X,d}\big)=\frac{1}{1-\beta}\int{\min{d,x}\geqslant\min{d,F^{-1}(\beta)}}\min{d,x}p(x)dx. $$ 有兩種情況：
情況1： $ F^{-1}(\beta)\leqslant0 $ . 在這種情況下， $ \text{VaR}\beta(\min{d,X})=F^{-1}(\beta) $ 對所有人 $ d\in\mathbb{R}+ $ . 因此
$$ \begin{align} (1-\beta)\text{CVaR}\beta(\min{d,X})&=\int{F^{-1}(\beta)}^\infty\min{d,x}p(x)\ dx\ &=\underbrace{\int_{F^{-1}(\beta)}^0xp(x)\ dx}{\displaystyle\text{Constant w.r.t. }d}+\underbrace{\int_0^dxp(x)\ dx}{\displaystyle\geqslant0\ \forall\ d\in\mathbb{R}+}+\underbrace{\int_d^\infty dp(x)\ dx}{\displaystyle=d(1-F(d))} \end{align} $$ 自從 $ d(1-F(d))\geqslant0 $ 對所有人 $ d\in\mathbb{R}+ $ , 我們有 $$ \min{d\in\mathbb{R}+}\text{CVaR}\beta(\min{d,X})=\frac{1}{1-\beta}\int_{F^{-1}(\beta)}^0xp(x)\ dx, $$ 達到 $ d=0 $ .
案例二： $ F^{-1}(\beta)>0 $ . 與上述類似的直接計算表明
$$ \begin{equation} (1-\beta)\text{CVaR}\beta(\min{d,X})= \begin{cases} d(1-F(d)),&0\leqslant{d}\leqslant{F^{-1}(\beta)},\ \displaystyle d(1-F(d))+\int{F^{-1}(\beta)}^dxp(x)\ dx,&F^{-1}(\beta)<d. \end{cases} \end{equation} $$ 通過檢查，我們清楚地知道
$$ \begin{equation} \min_{d\in\mathbb{R}+}\text{CVaR}\beta(\min{d,X})=0, \end{equation} $$ 達到 $ d=0 $ .