拉格朗日乘數的解釋
一名學生希望在她的期末考試中盡量減少獲得給定預期平均成績 𝑚 所需的時間。讓 $ \displaystyle {t}_{i} $ 是學習主題 i ∈ {1,2} 所花費的時間。
假設期望等級函式是 $ \displaystyle {g}{1} ({t}{1})=40+8\sqrt{{t}{1}} $ 和 $ \displaystyle {g}{2} ({t}{2}) = 2{t}{2} $ .
因此個人的優化問題是選擇 $ {t}{1} $ 和 $ {t}{2} $ 盡量減少總學習時間 $ 𝑇 = {t}{1} + {t}{2} $ 獲得平均等級 𝑚 的情況下
$ \displaystyle m-\frac{[{g}{1}({t}{1})+{g}{2}({t}{2})]}{2}=0 $
我需要解決的最佳選擇 $ {t}{1} , {t}{2} $ 和 $ 𝑇 $ 如果學生希望獲得 70 的預期平均成績。
解決我結束的問題
$ {t}_{1}=4 $
$ {t}_{2}=42 $
$ T=46 $
$ \displaystyle\lambda=-1 $
在這種情況下，我將如何解釋拉格朗日乘數？
正如在另一個答案中提到的，拉格朗日乘數是對價值（優化）函式的邊際效應，當受約束的邊際“放鬆”時。在您的情況下，應該將其解釋為“隨著所需平均預期成績的增加，學習時間會發生多少變化……”？
好吧，這是一個很好的例子，它表明我們如何設置拉格朗日函式很重要，以便有意義地解釋我們得到的東西。你是一個最小化案例，所以我們有
$$ \min T = t_1+ t_2 \ s.t;;; \displaystyle m-\frac{[{g}{1}({t}{1})+{g}{2}({t}{2})]}{2}=0 $$ 我們如何寫拉格朗日？我們寫嗎
$$ \Lambda = t_1+ t_2 + \lambda\left[m-\frac{[{g}{1}({t}{1})+{g}{2}({t}{2})]}{2}\right] $$ 或者
$$ \Lambda = t_1+ t_2 - \lambda\left[m-\frac{[{g}{1}({t}{1})+{g}{2}({t}{2})]}{2}\right] $$ 由於約束是等式約束，你可能會聽到“沒關係”。從數學上講，它確實沒有，但是到了解釋乘數的值的時候，它確實很重要。而且，也許在效用最大化問題中我們不太在意，因為效用是有序的。但是在像 OP 正在解決的問題中，目標函式是用一個非常真實、可測量和可量化的單位時間來衡量的。
現在我們應該如何理解“放寬約束時會發生什麼”？在具體的最小化問題中，它直覺的意思是“當需要 $ m $ 減少了”。（由於“放鬆”具有“理想”的含義，因此我們希望被要求更少的努力，更低的目標）。
我想現在很清楚如何獲得 $ \lambda $ 可以解釋。並考慮拉格朗日的哪種變體適合您的情況。
在最優值處，通過對偶性，這個拉格朗日問題等價於在給定時間預算的情況下最大化平均分數，其中 $ t_1 + t_2 = 46 $
$$ m = \max_{t_1, t_2} \frac{[{g}{1}({t}{1})+{g}{2}({t}{2})]}{2} - \lambda(t_1 + t_2 - 46) $$ 插入最優值 $ t_1, t_2 $ 進入你原來的拉格朗日：
$$ V(m) = 46 + \lambda(m - 70) $$ 注意
$$ \frac{\partial V}{\partial m} = \lambda $$ 我認為這裡的解釋是拉格朗日乘數是最佳分數的變化率，因為你獲得了更多的時間。