線性回歸與均值變異數優化
假設我有
n信號，我想對其進行線性加權並組合形成一個聚合信號。根據歷史數據執行此操作的兩種可能方法是：
- 回歸
n歷史回報的信號。使用從回歸中估計的 beta 作為信號的權重。- 根據歷史信號值估計信號的共變異數矩陣。根據信號的歷史回報估計信號的未來回報（平均值）。執行平均變異數優化並獲得信號的最佳權重
我了解這兩種方法（不同的目標函式）之間的技術差異，但我試圖（在實踐中）掌握什麼是更好的方法，因為從經驗上他們得出了相似的答案。
在這兩種情況下，您都在使用歷史信號性能來估計未來信號性能（例如信號返回的動量）。在這兩種情況下，您都可以限制優化以實現不同的目標（將權重限制為正數、總和為 1 等）。線性回歸目標 - 平方損失 - 有點類似於平均變異數目標，因為您正在最大化回報。不太確定最小化變異數部分是否同樣明顯
似乎平均變異數方法更靈活一些，您可以將預期收益與共變異數估計分開（甚至沒有預期收益的估計 - 例如最小變異數）。想知道是否有人有任何見解
線上性回歸方法中，您執行以下操作：
$$ (X \beta - y)^2 \rightarrow Min $$ 因此你試圖預測一些事情。你的目標是二次的。您通常會在 $ \sum \beta_i^2 $ 或者 $ \sum |\beta_i| $ . 沒有約束，估計量是： $$ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y, $$ 在哪裡 $ X^T y $ 與共變異數有關 $ X $ 和 $ y $ 和 $ (X^T X)^{-1} $ 正規化的協/變異數 $ X $ . 這是我們在學校都知道的測試版。 這樣我們就可以解釋 $ (X^T X)^{-1}X^T = P $ 作為矩陣和 $ \hat{\beta} = P y $ - 意思是我們試圖獲取多少資訊 $ X $ 有沒有在 $ y $ . $ P $ 是“資訊提取器”。
最後估計 $ \hat{\beta} X = \hat{y} $ 看看有多少 $ y $ 可以使用“資訊提取器”和值來解釋 $ X $ 至 $ y $ . 這與對跨越的空間的投影有很大關係 $ X. $
在投資組合優化的情況下，您的問題是（請注意 $ 1/2 $ 只是為了簡化進一步的計算）
$$ \frac12 w^T \Sigma w -w^T \mu \rightarrow Min, $$ 你有限制的地方 $ w $ , $ \Sigma $ 是肯定的。 $ \Sigma $ 可以是資產收益的估計 $ \Sigma = \frac{1}{n-1} R^TR $ 在哪裡 $ R $ 是資產收益。我們可以按照例如Roncalli並在沒有約束的情況下找到明確的解決方案（類似於上面的設置）： $$ w = \Sigma^{-1} \mu, $$ 意思是 $ w_i $ , 你對資產的賭注 $ i $ , 由期望值驅動 $ \mu_i $ 除以風險。我們也可以說這是 $ \mu $ 在空間上 $ \Sigma^{-1} = (\frac{1}{n-1} R^TR)^{-1} $ . 最後一個想法：如果我們不關心絕對的表現，但我們想追踪一些回報 $ y $ 目標是跟踪誤差，然後我們嘗試找到權重 $ w $ 這樣
$$ (Rw - y)^2 \rightarrow Min. $$ 因此，在跟踪誤差優化設置中，您會遇到與回歸設置非常匹配的問題。