Hamilton-Jacobi-Bellman 方程發現的做市策略
我正在閱讀Cartea、Jaimungal 和 Penalva 的“算法和高頻交易”（AHFT）一書，我很想知道具有指數效用函式的做市模型與Avelaneda 和Stoikov，但我在理解這本書的結果時遇到了一些問題。
在這兩種模型中，輸入訂單簿的買入價和賣出價都是根據庫存相關函式計算得出的， $ \theta $ 在2和 $ g(t,q) $ 或者 $ h(t,q) $ 在1。
對我來說，主要區別似乎是在 A&S 的論文中，這個依賴於庫存的函式在庫存參數方面進行了擴展 $ q $ . 重要的是，A&S 對 HJB 方程的指數部分中的指數項進行了線性逼近 $ \theta $ （見2中的等式 26 ）。
在1中，作者從未明確計算庫存依賴函式， $ h(t,q) $ ，但聲明可以通過以下方式找到它：
但是，我不知道如何在兩者之間做產品 $ e^\mathbf{A} $ 和 $ \mathbf{z} $ 為了計算 $ \omega(t,q) $ 和 $ h(t,q) $ 對於給定的庫存 $ q $ .
你能幫我更好地理解這一點嗎？
在終端時間 $ T $ ，終端條件為 $ g(T, q) = -\alpha q^2 $ ， 這意味著，
$$ \begin{aligned} g(T, q) &= \frac{1}{\kappa} \log{\omega(T, q)} = -\alpha q^2\ \Rightarrow \omega(T,q) &= e^{-\kappa\alpha q^2} \end{aligned} $$ 所以， $ \mathbf{z} $ 是（誰）給的， $$ \mathbf{z} = \boldsymbol{\omega(T)} = \begin{bmatrix} e^{-\alpha\kappa \bar{q}^2}\ e^{-\alpha\kappa (\bar{q}-1)^2}\ \vdots\ e^{-\alpha\kappa (\underline{q}+1)^2}\ e^{-\alpha\kappa \underline{q}^2}\ \end{bmatrix} $$ 接下來我們將注意力轉向術語 $ e^{\mathbf{A}(T-t)} $ . 矩陣 $ \mathbf{A}(T-t) $ 是一個實對稱矩陣，所以我們知道我們可以執行特徵分解 $ \mathbf{A}(T-t) $ 進入， $$ \mathbf{A}(T-t) = PDP^{-1} $$ 和 $ D $ 元素為特徵值的對角矩陣 $ \lambda_j $ ， 和 $ P $ 是一個矩陣，其列是對應的特徵向量 $ v_j $ . 最後，我們使用標準結果，
$$ \begin{aligned} e^{\mathbf{A}(T-t)} &= Pe^{D}P^{-1}\ &=P\begin{bmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \ldots & 0\ 0 & e^{\lambda_2}& \ldots & 0\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ 0 & 0 &\ldots & e^{\lambda_{(\bar{q} - \underline{q}+1)}} \end{bmatrix}P^{-1} \end{aligned} $$ 這將使我們能夠計算出最終的表達式 $ \boldsymbol{\omega(t)} $ .