均值變異數投資組合和二次規劃
當談到現代投資組合理論、均值變異數投資組合優化及其二次規劃公式時，我有些困惑。
問題 1：均值-變異數投資組合優化的公式
我了解到平均變異數投資組合是由問題給出的：
最小化 $ \mathbf{x} $ : $ \mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma}\mathbf{x} $
受約束： $ \mathbf{\mu}^T\mathbf{x} \geq r, \mathbf{1}^T\mathbf{x}=1 $
在哪裡 $ \mathbf{x} $ 是投資組合和 $ r $ 是目標回報
然而，在維基百科上，我發現現代投資組合理論涉及以下優化問題：
最小化 $ \mathbf{x} $ : $ \mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma}\mathbf{x} - q\times\mathbf{\mu}^T\mathbf{x} $
受約束： $ \mathbf{1}^T\mathbf{x}=1 $
這兩種配方如何相同？
問題 2：二次規劃問題的形式
在大多數參考資料（以及維基百科上的其他資料）中，二次規劃問題由下式給出：
最小化 $ \mathbf{x} $ : $ \frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q\mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x} $
受約束： $ A\mathbf{x} \leq \mathbf b, $ $ E\mathbf{x} = \mathbf d $
但是，R 函式 quadprog::solve.QP 解決了以下問題：
最小化 $ \mathbf{x} $ : $ \frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q\mathbf{x} - \mathbf{g}^T \mathbf{x} $
受約束： $ K\mathbf{x} \geq \mathbf m $
筆記：
- c的符號相反
- 不等式約束相反
- 缺少等式約束
這兩個如何相同？我可以接受標誌更改 $ \mathbf c $ 作為化妝品，但其餘的……
關於問題一，考慮對預期收益的約束是相等的情況可能更簡單。在這種情況下，第一個問題可以轉化為
最小化 $ \left{ x,\lambda_{1},\lambda_{2}\right} $ : $ x’\Sigma x + \lambda_{1} (\mu’x - r) + \lambda_{2} (1’x - 1) $
通過拉格朗日乘數技術，第二個可以轉換為
最小化 $ \left{ x,\lambda_{2}\right} $ : $ x’\Sigma x - q \mu’x + \lambda_{2} (1’x - 1) $
因此，您可以解決第一個問題並設置 $ q \equiv -\lambda_{1} $ 有效地得到第二個等效問題。由於 $ r $ 是一個常數，您可以將它的術語添加回來，它不會對最終優化產生任何影響（即第二個）。
根據我的經驗，對於簡單的投資組合優化問題，人們可以輕鬆地在收益最大化、風險最小化或效用最大化框架之間切換。但是，如果您合併交易成本或執行穩健的優化或其他一些複雜的方法，則有效邊界可能會表現出一些差異。最終，您必須決定使用哪個（在約束條件下最小化風險可能更常見），並且在建構有效邊界或投資組合時始終如一地這樣做。
關於問題二，優化器的規範通常不同。您通常必須將問題調整為優化器的形式。例如，乘以你的 $ c $ 經過 $ -1 $ , 相乘 $ A $ 和 $ b $ 每個 -1，並添加額外的不等式約束來創建等式約束（因為您可以將一個等式表示為兩個不等式）。