具有隨機變數的拉格朗日乘數法
我將用一個簡單的問題來說明我遇到的問題。
讓 $ c_1, c_2 \in \mathbb{R} $ ， 和 $ Z $ 一個實值隨機變數。讓 $ u:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 是一個可微函式，並且 $ f(c_1,Z) $ 是一個可微分的實值函式 $ c_1 $ .
問題是：最大化： $ u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)] $
這樣 $ c_2=f(c_1, Z) $這個問題用直接代換很容易解決，答案是
$ u’(c_1) + \mathbb{E}\left[u’(f(c_1,Z)) \frac{\partial f(c_1,Z)}{\partial c_1}\right] = 0 \label{answer} $
問題是如何寫出一個拉格朗日函式，其極值對應於該問題的正常解法。
我的第一直覺是寫作 $ \mathcal{L} = u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)] + \lambda(c_2 - f(c_1,Z)) $ .
然而，這似乎沒有任何意義。如果你對待 $ c_2 $ 好像它是一個隨機變數，那麼它的導數 $ \mathbb{E}[u(c_2)] $ 關於 $ c_2 $ 給出零，這不可能給出正確的答案。另一方面，將其視為非隨機的也沒有意義，因為它被約束“強制”為隨機的。
問題：我如何寫一個拉格朗日函式，其極值對應於上述優化問題的解？
如果你對待 $ c_2 $ 好像它是一個隨機變數，那麼它的導數 $ E[u(c_2)] $ 關於 $ c_2 $ 給出零。
為什麼？這樣的斷言不會隨處可見。微妙之處在別處。OP考慮的拉格朗日問題
$$ \mathcal{L} = u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)] + \lambda(c_2 - f(c_1,Z)) $$ 是不是它也是一個隨機變數，因為現在 $ Z $ 出現在預期值之外（直接替代方法，然後是最大化 $ c_1 $ 只是，不會產生任何此類問題）。
現在，我們/我們可以最大化隨機變數嗎？嗯，不，因為隨機變數的本質特徵是它是一個函式，其值不能通過命令和控制來設置。
但是可以說“好吧，讓我們假設這個拉格朗日不是一個隨機變數，並寫下最大化的條件，即使我們知道我們不能強制解決”。
但這行不通：如果一個人嘗試這樣做，最終將獲得
$$ u’(c_1) + \mathbb{E}\left[u’(f(c_1,Z))\right] \cdot \frac{\partial f(c_1,Z)}{\partial c_1} = 0 $$ 這與直接代入得到的條件不一樣，因為這裡的偏導數在期望值之外。
（對於那些可能認為“嘿，那麼我們如何在最大概似方法中應用最大化程序”的人的答案是，當我們開始應用最大化步驟時，沒有什麼是隨機的了）。
這不是答案，請參閱Alecos 的答案。這篇文章的重點是澄清這個問題依賴於錯誤的假設
$$ \frac{d \ E(c_2)}{d \ c_2} = 0 $$ 舉個例子。考慮我通過滾動六面骰子並將結果相乘得到的隨機變數 $ X $ 由一個正整數 $ n $ . 這個的期望值為 $$ E(n \cdot X) = n \cdot \frac{7}{2}. $$ 你會聲稱 $$ \frac{d \ E(n \cdot X)}{d \ n} = 0 $$ 因為“取期望的導數$$ … $$關於任何東西都為零，因為期望$$ … $$只是一個常數”？