有約束的優化問題
考慮以下最大化問題$$ \max_{{\tau(\cdot),q(\cdot)}}\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\left(\theta q(\theta)-\dfrac{\gamma\sigma^{2}}{2}q^2(\theta)-\tau(\theta)\right)f(\theta)d\theta $$ 受制於$$ \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\left(\tau(\theta)-v(\theta)q(\theta)\right)f(\theta)d\theta\geq\underline{\pi} $$ 在哪裡 $ \theta=s-\gamma\sigma^2 I $ 並有有限的支持， $ [\underline{\theta},\bar{\theta}] $ , $ \gamma\sigma^2>0 $ 和 $ s\sim N(\bar{s},\sigma_1^{2}) $ 和 $ I\in\mathbb{R} $ . 功能 $ u(\cdot) $ , $ \tau(\cdot) $ 和 $ q(\cdot) $ 是線性的 $ \theta $ , $ \underline{\pi} $ 是一個常數並且 $ f(\theta) $ 是正態分佈的pdf。
這是 Biais、Rochet 和 Martimont 論文在 2000 年問題中的一個問題 $ 3.5 $ . 我對約束有點困惑，我不明白如何解決它。這對我來說並不明顯。先感謝您！
$ \underline{Hint:} $ 他們沒有明確假設 $ \theta $ 變數服從正態分佈，但這與優化問題無關。
$ \underline{Comments?:} $ 我知道現在是時候了，但是，總結 Biais、Rochet 和 Martimont 的論文使用變分法，不是嗎？我有點困惑，因為我認為只有在問題中有時間維度的情況下才能使用變分法。正如我所看到的，如果我錯了，請糾正我，通過這篇論文，他們的模型是某種靜態模型，不是嗎？
您應該像考慮總和一樣考慮積分。那麼通常的拉格朗日方法似乎很自然。
$$ \begin{align} \mathcal{L} &= \int_\underline{\theta}^\overline{\theta} \left( \theta q(\theta) - \frac{\gamma\sigma^2}{2}q^2(\theta) - \tau(\theta) \right) f(\theta) d \theta + \lambda \left(\int_{\underline{\theta}}^\overline{\theta} (\tau(\theta) - v(\theta) q(\theta)) f(\theta) d\theta \right)\ &= \int_\underline{\theta}^\overline{\theta} \left( \theta q(\theta) - \frac{\gamma\sigma^2}{2}q^2(\theta) - \tau(\theta) + \lambda(\tau(\theta) - v(\theta) q(\theta)) \right) f(\theta) d\theta - \lambda \underline{\pi}\ &= \int_\underline{\theta}^\overline{\theta} \left( \theta q(\theta) - \frac{\gamma\sigma^2}{2}q^2(\theta) - \lambda v(\theta) q(\theta) + (\lambda-1)\tau(\theta) \right) f(\theta) d\theta - \lambda \underline{\pi} \end{align} $$
現在，簡單地對待 $ \theta $ 作為求和索引並逐個寫入一階條件（對於每個 $ \theta $ ):
$$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial q(\theta)} \mathcal{L} & = \theta - \gamma\sigma^2 q(\theta) - \lambda v(\theta) = 0 \ \frac{\partial}{\partial \tau(\theta)} \mathcal{L} & = \lambda - 1 = 0 \end{align} $$
在腳註 16 中，作者假設參與約束具有約束力，因此 $ \lambda^* > 0 $ 因此 $$ \lambda^* = 1, $$ 根據第二個一階條件。替換的值 $ \lambda^* $ 進入你得到的第一個條件 $$ \begin{equation} q^*(\theta) = \frac{\theta - v(\theta)}{\gamma \sigma^2}. \end{equation} $$
本節最後一段中的假設確保 $ \tau^*(\theta) $ 幾乎在所有地方都是非零的（對於所有可能的 $ \theta $ 除了一個任意值，它們表示 $ \theta_0 $ - 它必須取決於確切的函式形式 $ v $ 你應該選擇一個）。