通過 MR = MC 與 TR = TC 進行優化
我知道我應該通過解決問題來優化生產 $ MR = MC $ 關於 $ Q $ .
但如果 $ TR > TC $ ，我正在賺錢。為什麼僅僅解決還不夠 $ TR = TC $ 關於 $ Q $ ?
讓 $ TR(Q), TC(Q): [0, \infty) \to [0, \infty) $ 是連續和二次可微函式 w/ resp 導數 $ MR(Q), MC(Q) $ .
並非總是如此
$$ TR(Q) > TC(Q) \ \forall Q $$ 如果是的話，我們會有
$$ {Q | TR(Q) = TC(Q)} = \emptyset $$ 即使我們有
$$ TR(Q) > (or \ge) \ TC(Q) \ \forall Q $$ 意味著我們的利潤對於任何數量 Q 都是正的：
$$ \pi(Q) := TR(Q) - TC(Q) > 0 $$ 我們還想找到 $ Q^{} $ 英石 $ \pi(Q^{}) = TR(Q^{}) - TC(Q^{}) $ 被最大化。
比喻： $ e^x > x \ \forall x \in \mathbb R $ ， 但 $ f(x) := |e^x - x| $ 不是恆定的。的一些值 $ x $ 給之間更大的距離 $ e^x $ 和 $ x $ 相對於其它的
這不是通過解決來完成的
$$ TR(Q) = TC(Q) $$ 它只給出了給我們零利潤的數量，即
$$ \pi(Q) := TR(Q) - TC(Q) = 0 $$ 我們想要最大化 $ \pi(Q) $ 所以我們得到一階導數並將其設置為零：
$$ 0 = \frac{d}{dQ} \pi(Q) = MR(Q) - MC(Q) $$ 順便說一句，解決
$$ 0 = MR(Q) - MC(Q) $$ 給我們一些價值 $ Q_0 $ , 但這不一定給 $ Q^{*} $ . 我們必須檢查 $ \pi’’(Q_0) $
MR 和 MC 分別是收入和成本函式的一階導數。如果對於大於 0 的每個點，我們的收入都大於成本，則不存在全域最大值。但通常情況並非如此。如果我們有多個相切條件成立的點，我們必須檢查每個點以找到最佳點。