在期望下簡化歐拉方程
我正在閱讀一本教科書，該教科書在時期之間推導出以下一階（歐拉）方程 $ t $ 和 $ t+1 $ . 我們最終得到： $$ -C_{j,t}^{-\sigma}+\beta E_{t}\left{ \left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left[\left(1-\delta\right)P_{t+1}+R_{t+1}\right]\right} =0 $$ 變數具有通常的含義，如 $ P,R $ 和 $ C $ 分別代表價格、利率和消費，以及 $ t $ 索引時間。下一期價格和利率未知，導致運營商的預期。然後作者將其簡化為： $$ \left(\frac{E_{t}C_{j,t+1}}{C_{j,t}}\right)^{\sigma}=\beta\left[\left(1-\delta\right)+E_{t}\left(\frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}\right)\right] $$ 在我看來，這在沒有給出任何額外假設的情況下草率地使用了期望運算符。例如，簡單的第一個表達式，一個得到： $$ \begin{align*} C_{j,t}^{-\sigma} & =\beta E_{t}\left{ \left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left[\left(1-\delta\right)P_{t+1}+R_{t+1}\right]\right} \ & =\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left(1-\delta\right)P_{t+1}\right)+\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)R_{t+1}\right)\ & =\beta\left(1-\delta\right)E_{t}\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)+\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)R_{t+1}\right) \end{align*} $$ 從這裡開始，除非人們對隨機變數的性質做出限制性（和不切實際）假設 $ t+1. $ 特別是，明天的消費將取決於相對價格和利率，所以我們不能使用以下事實： $ E[XY]=E[X]E[Y]. $ 我們如何簡化上述表達式以獲得作者所做的事情？感謝您的時間。
一個正式的假設和兩次忽略 Jensen 的不等式可以導致近似。
正式假設
$$ {\rm Cov} \left[C_{j,t+1}^{-\sigma}, ,\frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}\right] =0. $$ 從技術上講，這並不意味著我們假設這兩個分量是獨立的，只是它們的共變異數為零。它們可能表現出非線性依賴性。我們正在研究消費的非線性函式（倒數和冪）這一事實可能被視為支持性“論據”。
兩次忽略 Jensen 的不等式
…通過近似 $$ E_t\left[\frac{1}{C_{j,t+1}^{\sigma}}\right] \approx \frac{1}{\left[E_tC_{j,t+1}\right]^{\sigma}}. $$
取決於價值 $ \sigma $ , 一隻盲眼可能會抵消另一隻盲眼的影響，或加強它。
接受這些步驟，後果自負。