我正在嘗試解決人力資本模型中的約束優化問題。目標函式是

$ \max_{c_1,c_2,\nu} U = u(c_1) + \beta u(c_2) $ ,

受到

$ c_1 = w +(1-\nu)\theta_1 h_1^a $ 和 $ c_2 = \theta_2 h_2^a $ .

下面的列表總結了使用的變數：

• $ c_t $ 是期間的消費 $ t $ . 注意 $ u(c) = log(c) $ .
• $ \theta_t $ 是期間的工資率 $ t $ .
• $ \nu $ 是在第一階段積累人力資本所花費的時間。 $ \nu $ 被正規化為介於$$ 0,1 $$， 和 $ (1-\nu) $ 是在第一階段工作的時間。
• $ h_t $ 是時期的人力資本 $ t $ . 注意 $ h_2 = h_1(1+\nu) $ .
• $ a $ 是與生俱來的能力。一起， $ \theta_t h_t^a $ 代表期間的收入 $ t $ .
• $ w $ 是初始財富。

所以，給定 $ (w,a,h_1) $ , 個人選擇最優 $ \nu $ 在決定第一期和第二期消費的第一期。 $ \theta $ 是外生變數。現在使用拉格朗日方程的方法求解這個優化問題：

$ L = u(c_1) + \beta u(c_2) - \lambda_1(c_1 - w -(1-\nu)\theta_1 h_1^a) - \lambda_2(c_2 - \theta_2 h_2^a) $ .

解決 $ \dfrac{\partial L}{\partial c_1} = \dfrac{\partial L}{\partial c_2} = 0 $ 給出以下兩個等式：

$ c_1 = \dfrac{1}{\lambda_1} $ 和 $ c_2 = \dfrac{\beta}{\lambda_2} $ .

現在解決 $ \dfrac{\partial L}{\partial \nu} = 0 $ :

$ \dfrac{\partial L}{\partial \nu} = -\lambda_1 \theta_1 h_1^a + \lambda_2 \theta_2 a h_1^a(1+\nu)^{a-1} $ = 0.

替代 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ ，我們得到：

$ \dfrac{\theta_1 h_1^a}{c_1} = \dfrac{\theta_2 a \beta h_1^a(1+\nu)^{a-1}}{c_2} $ .

代入等式約束並求解 $ \nu $ ，我們得到：

$ \dfrac{\theta_1 h_1^a}{w+(1-\nu)\theta_1 h_1^a} = \dfrac{\theta_2 a \beta h_1^a(1+\nu)^{a-1}}{\theta_2 h_1^a (1+\nu)^a} $

$ \dfrac{\theta_1 h_1^a}{w+(1-\nu)\theta_1 h_1^a} = \dfrac{a \beta}{1+\nu} $

$ \nu = \dfrac{a \beta w + a \beta \theta_1 h_1^a - \theta_1 h_1^a}{(\theta_1 h_1^a)(1+a \beta)} $ .

我不明白為什麼 $ \theta_2 $ 在確定最佳狀態時不起任何作用 $ \nu $ . 從邏輯上講，個人在第一階段投資於人力資本，通過放棄第一階段可能的收入，在第二階段賺取更多收入。然而，即使 $ \lim_{\theta_2 \to 0} $ ，這個解決方案仍然會推薦個人在第一階段投資於人力資本，確切地說 $ \dfrac{a \beta w + a \beta \theta_1 h_1^a - \theta_1 h_1^a}{(\theta_1 h_1^a)(1+a \beta)} $ 很多。

問題是您忽略了除法 $ \frac {0} {0} $ ，這是在 $ \frac {\partial L} {\partial v} $ . 在查看解決方案之前，確實看到了 $ \theta_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ v ^ {*} = 0 $ ，我要注意第一個約束 $ c_ {1} = w - (1 -v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1} $ 可以更加現實和合乎邏輯。很容易看出 $ \frac {\partial c_ {1}} {\partial v}> 0 $ 在限制中，這意味著通過儲蓄投資於人力資本，您的收入在第一階段會增加。這意味著投資人力資本和消費之間沒有權衡取捨（如果利率低於 1 會稍微減少問題，但本質上仍然是錯誤的）。第二個 $ c_ {1} = w - (1-v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1} $ 不允許儲蓄財富，只有收入。一個更合理的限制是這樣 $ c_ {1} = (1-v) (w - \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1}) $ \我將忽略第二個觀察並繼續回答您的問題，我只是認為指出它相關。我們將處理這個限制 $ c_ {1} = w + (1-v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1} $ . 這不影響 $ \frac {\partial L} {\partial c_ {1}}, \frac {\partial L} {\partial c_ {2}} $ ，但確實如此 $ \frac {\partial L} {\partial v} $ . 第三個一階條件是：

$$ \begin{align} \frac {\partial L} {\partial v} = \lambda_ {1} \theta_ {1} h_ {1} ^ a - - \theta_ {2} h_ {1} ^ a) (1 + v) ^ {1-a} a \lambda_ {2} \beta = 0 \ \frac {\partial L} {\partial v} = \lambda_ {1} \theta_ {1} - \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a \lambda_ {2} \beta = 0 \end{align} $$

我們通過引入約束來推導出歐拉方程 $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 $ :

$$ \begin{align} \frac {\theta_ {1}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} = \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {\theta_ {2} h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a} } \end{align} $$

看來你可以放心地說 $ \frac {\theta_ {2}} {\theta_ {2}} = 1 \ \forall \theta_ {2} $ , 但當 $ \theta_ {2} = 0 $ ，但事實並非如此，因為當這種情況發生時 $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 \ \forall c_ {1}, c_ {2}, v $ . 通過乘法可以清楚地看出這一點 $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 $ 經過 $ \theta_ {2} $ :

$$ \begin{align} \frac {\partial L} {\partial v} = \frac {\theta_ {1}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} + \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {\theta_ {2} h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a}} = 0 \ \frac {\partial L} {\partial v} = \frac {\theta_ {1} \theta_ {2}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} + \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a}} = 0 \ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 \ \forall c_ {1}, c_ {2}, v \end{align} $$

因此歐拉方程的解為 $ v $ 只有當 $ \theta_ {2} \neq 0 $ . 什麼是最優值 $ v $ 如果 $ \theta_ {2} = 0 $ ? 因為我們有三個未知數和 $ v $ 僅出現在其中 2 個中，我們無法通過替換得出解決方案。你必須看看 v 對效用函式的影響。為了實現這一點，我們獲得了最優值 $ c_ {1} $ 和 $ c_ {2} $ 通過求解歐拉方程（不替換約束，我們得到以下結果：

$$ \begin{align} c_ {1} ^ {} = \frac {\theta_ {1}} {(1 + v) a} \ c_ {2} ^ {} = \frac {\theta_ {2}} {\theta_ {1}} (w (1 + v) ^ {1-a} - (1 + v) ^ {- a} h_ {1} ^ {a} \theta_ {1} = 0 \end{align} $$

但這意味著 $ c_ {2} ^ {} $ 是角解，因此約束 $ c_{2} = \theta_ {2} h^ {a} $ 沒有約束力，所以這是無效的。我不會詳細說明原因，但您可以在 Simon 和 Blume 的 經濟學家數學 書的第 18 章中了解更多資訊。這個想法是，如果 $ c_ {2} $ 為 0 表示無法滿足該變數的約束，它仍然是不等式，與優化問題無關。所以它變成了2名副其實的優化問題 $ v, c_ {1} $ 但如何 $ \frac {\partial c_ {2} ^ {}} {\partial v} <0 $ . 所以最優水平 $ v $ 是0？不受任何價值限制 $ v $ 解決方案是 $ v = - \infty $ ！！！！在有限制的情況下，它的最佳值等於 0。注意：這僅在您對效用函式進行修改時才成立，否則未定義優化問題。請參閱“編輯”中的說明。

編輯

我對我之前寫的內容做了一些更正。在那 $ v $ 不依賴於 $ \theta_ {2} $ ，確實如此；僅與使用擬線性效用函式時發生的情況類似。在這些類型的函式中，如果您導出一階條件，效用函式中線性出現的商品不取決於收入。這樣做的問題是，只有當兩種商品的消費量都是正數時，一階條件才有效。這齣現在任何中級微觀經濟學書籍中。事實證明這是一般的。優化問題的一階條件，其中未明確指定內生變數的值必須大於或等於 0。這意味著還將存在使最優解令 0 成為內生變數的參數值變數。在這種情況下， $ \theta_ {2} $ .

問題是當 $ \theta_ {2} $ 等於 0，目標函式未定義 $ \theta_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ c_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ log (c_ {2 }) = - \infty $ ，所以值 $ theta_ {2} = 0 $ 不可能。但稍作修改，如改變效用函式 $ log (c_ {2}) $ 為了 $ log (c_ {2} +1) $ , 問題被定義並且通過替換約束 $ c_ {2} $ 在效用函式中，它變得獨立於 $ c_ {2} $ 優化問題變成了 2 個變數，因為 $ v $ 只是成本，最優解是 $ 0 $ 有限制和 $ - \infty $ 沒有限制。所以當 $ \theta_{2} = 0 \ \Rightarrow \ v^{*} = 0 $ ， 什麼時候 $ \theta_ {2} \neq 0 $ 的最優值 $ v $ 是從優化問題中得出的常數。所以有一個依賴，但它會在什麼時候中斷 $ \theta_ {2}> 0 $ .

現在為什麼沒有依賴 $ \theta_ {2}> 0 $ ?. 正如@Bertrand 評論的那樣，如果效用函式中人力資本積累的負效用，這可能會改變。但這不是唯一的方法，你也可以讓儲蓄財富投資於人力資本，這會產生預期的依賴 $ \theta_{2}>0 $ . 我認為這種改變是非常合理的；為什麼不允許代理人儲蓄財富投資於人力資本？

關於他們告訴你什麼時候會發生什麼 $ w = 0 $ ，你會再次看到這對參數施加了更多的限制，事實上它必須是真的 $ a \beta = 1 $ ，否則優化問題不明確。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/37457