優化
我應該選擇哪個目標函式來最小化跟踪誤差？
假設我有 $ n $ 資產及其回報 $ m $ 由矩陣表示的周期 $ X \in \mathbb{R}^{m \times n} $ ，並且我有一些其他資產在同一時期有回報，由向量表示 $ y \in \mathbb{R}^m $ .
我的目標是找到一個權重向量 $ w $ 這樣
$$ w^* = \underset{w}{\arg \min} ~ \text{TE}(w) $$
在哪裡 $ \text{TE}(w) $ 是定義如下的跟踪誤差：
$$ \text{TE}(w) = \sqrt{\text{Var}(Xw - y)} $$
和
$$ \sum_{i=1}^n w_i =1 $$
簡而言之，我想複製 $ y $ 使用資產組合 $ X $ .
我的想法是通過優化器使用上面提到的跟踪錯誤的確切定義。
但是，有人建議使用以下內容：
$$ w^* = \underset{w}{\arg \min} ~ \sum_{i=1}^m (Xw-y)_i^2 $$
我都嘗試了，第一個跟踪錯誤更好。
我似乎很清楚，如果確實存在一些，兩者都應該返回完全相同 $ w $ 完美複製 $ y $ .
如果不是這樣呢？
還有另一種方法嗎？
在進行跟踪誤差優化時，使用跟踪誤差平方得到相同的結果，也就是相對投資組合權重的變異數。這將只是找到最小變異數投資組合，但有權重條件。例如，假設您在基准上有一個固定的 -100% 權重，並在總權重總和為零的情況下進行優化，則等效於設置變異數最小化。
對於較短的時間範圍，如果您可以假設預期收益大約為零，那麼您的第二個公式相當於最小化變異數。當時間跨度更長並且每項資產的預期回報為零不再近似正確時，則第二個公式將不會產生相同的權重。