Jensen alpha 估計
我對如何計算 Jensen 的 alpha 有點困惑，遇到了各種方法。
根據他 1967 年的論文，Jensen 估計 alpha 的方程是：
$ \tilde{R_{jt}} - R_{ft} = \alpha_j + \beta_j[\tilde{R_{mt}} - R_{ft}] + \tilde{u_{jt}} $
因此，如果我錯了，請糾正我， $ \alpha_j $ 將由 OLS 估計，因為基金超額收益對市場超額收益和貝塔的線性回歸的截距將是：
$ \hat\beta_j = Cov(\tilde{R_{jt}} - R_{ft}, \tilde{R_{mt}} - R_{ft})/Var(\tilde{R_{mt}} - R_{ft}) $
但是，我偶然發現了另一種計算 alpha 的方法，基於將 beta 估計為：
$ \hat\beta_j = Cov(\tilde{R_{jt}}, \tilde{R_{mt}})/Var(\tilde{R_{mt}}) $
然後計算基金的預期回報為：
$ E(\tilde{R_{jt}}) = R_{ft} + \beta_j[E(\tilde{R_{mt}}) - R_{ft}] $
最後，將 alpha 計算為：
$ \hat\alpha_j = R_{jt} - E(\tilde{R_{jt}}) $
在哪裡 $ R_{jt} $ 將是在時間 t 觀察到的基金 j 的回報。
這兩種方法有什麼區別？如果我對估算基金阿爾法感興趣，我應該使用哪種方法？
請注意，這兩個公式 $ \beta_j $ 是一樣的，因為 $ \mathbb{V}\text{ar}[\tilde{X}+c]=\mathbb{V}\text{ar}[\tilde{X}] $ 和 $ \mathbb{C}\text{ov}(\tilde{X}+c,\tilde{Y}+c)=\mathbb{C}\text{ov}(\tilde{X},\tilde{Y}) $ 對所有人 $ c\in\mathbb{R} $ .
關於其餘的（請注意，我會壓制 $ t $ 下標），如果你有單指數模型（這只是一個統計工具，基本上是一個 OLS 回歸） $$ \begin{align*} \tilde{R_j} - R_f = \alpha_j + \beta_j (\tilde{R_m}-R_f) + \tilde{u_j}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \tilde{u_j}\sim (0,\sigma^2_j) $ 模型 iid 特質效應。這裡， $ \alpha_j $ 確實是 OLS 回歸的截距（資產 $ j $ 超額收益對市場超額收益）。
在作為一種經濟理論的CAPM中，定價合理的資產位於證券市場線 (SML) 上 $$ \begin{align*} \mathbb{E}[\tilde{R_j}] = R_f + \beta_j (\mathbb{E}[\tilde{R_m}]-R_f) \end{align*} $$ 沒有阿爾法，因為它們既沒有被高估也沒有被低估。此外請注意，只有通過以下方式衡量的系統性風險敞口 $ \beta_j $ 重要的是，而不是整體的總變異數 $ \tilde{R_j} $ .
現在，如果您觀察到資產的回報 $ i $ ，那麼你可以比較這個回報， $ R_j $ 從 CAPM 獲得的預期回報， $ E[R_j] $ 並將此差異稱為 alpha，即 $$ \begin{align*} \alpha_j &= R_j - \mathbb{E}[\tilde{R_j}]. \end{align*} $$
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