用標準差和相關性表達共變異數
我真的需要幫助解決這個問題。非常感謝任何建議！
假設有 $ n $ 資產與 $ n\times n $ 共變異數矩陣 $ C=SRS $ ， 在哪裡 $ S $ 是具有標準差的矩陣 $ \sigma_i $ 在它的對角線上和零非對角線，和 $ R $ 是相關矩陣。讓 $ w_p $ 是風險平價投資組合，定義為 $ w_P,_i\sigma_i = w_P,_j\sigma_j,\forall 1 \leq i, j \leq n $ . 照常 $ w_P^Tu = 1 $ , $ u $ 是單位向量。表達 $ \beta_i $ （資產的共變異數 $ i $ 在標準差和相關性方面，風險平價投資組合除以風險平價投資組合的變異數。
讓 $ \mathbb{1} $ 表示一個向量。根據問題中風險平價的定義，我們有
$$ Sw=c\mathbb{1} $$ 和 $ c $ 一些常數，因此
$$ w=cS^{-1}\mathbb{1} $$
作為 $ \mathbb{1}^Tw=1 $ ， 我們有
$$ c\mathbb{1}^TS^{-1}c\mathbb{1}=1 \Rightarrow c=\frac{1}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}} $$
因此
$$ w=\frac{S^{-1}\mathbb{1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}} $$
對於風險，我們得到
$$ \sigma_P^2=w^TSRSw=\frac{\mathbb{1}^TS^{-1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}}SRS\frac{S^{-1}\mathbb{1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}}=\frac{\mathbb{1}^TR\mathbb{1}}{(\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1})^2} $$
對於單個共變異數，我們得到
$$ Cov(r_i,r_p)=\frac{\sigma_iR_{i,.}\mathbb{1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}} $$
因此對於所有共變異數作為向量：
$$ Cov(r,r_p)=\frac{SR\mathbb{1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}} $$
最後，定義為投資組合變異數的 covs 的 beta 向量等於
$$ \beta = \frac{\frac{SR\mathbb{1}}{\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1}}}{\frac{\mathbb{1}^TR\mathbb{1}}{(\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1})^2}}=\frac{(SR\mathbb{1})(\mathbb{1}^TS^{-1}\mathbb{1})}{\mathbb{1}^TR\mathbb{1}} $$