共變異數和 Beta：誰能解釋這個計算？
讓我們考慮一個簡單的股票投資組合，它只有兩個因素：0.5 的價值敞口和 0.8 的動量敞口。讓我們假設這兩個因素的波動率是價值的 3% 和動量的 5%，它們之間的相關性是 0.2。
我不明白這個計算，誰能解釋這個公式： $$ cov(r_{value},r_p) = cov(r_{value}, X_{value}r_{value}+X_{momentum}r_{momentum}= $$ $$ X_{value}\sigma_{value}^2+X_{momentum}\sigma_{momentum}\sigma_{value}\rho=0.5\cdot0.03^2+0.8\cdot0.05\cdot0.03\cdot0.2=0.00069 $$
我認為我需要因子值和投資組合之間的相關性才能找到共變異數，因為 $ cor(\mathrm{value}, \mathrm{portfolio}) = \frac{cov( \mathrm{value}, \mathrm{portfolio})}{\sigma_{\mathrm{value}}\sigma_{\mathrm{portfolio}}} $ ?
如果 $ X $ , $ Y $ ， 和 $ Z $ 是實值隨機變數和 $ a $ , $ b $ , $ c $ , $ d $ 是常數（即非隨機），則以下事實是共變異數定義的結果： $$ cov\left(X, (aY+b)+(cZ+d)\right)=a\cdot cov\left(X,Y\right)+c\cdot cov\left(X,Z\right) $$
對於您的公式，設置 $ b=d=0 $ , $ X=Y=r_{value} $ , $ a=X_{value} $ 和 $ c=X_{momentum} $ . 在應用以下一般陳述後，這個直截了當的公式導致您陳述的公式 $ cov(X,Y)=\rho \sigma_X \sigma_Y $ .