幫助理解步驟∑nj=0∑nk=0GjGķ（εn-1,εn+h-k)=∑nj=0G2j+小時σ2∑j=0n∑ķ=0nGjGķ這(εn−1,εn+H−ķ)=∑j=0nGj2+Hσ2sum{j=0}^nsum_{k=0}^ng_jg_ktex…
鑑於是 $ \epsilon_n $ 是一個白雜訊過程 $ \text{Var}(\epsilon_n)=\sigma^2 $ 然後 $ g_j\in\mathbb{R} $ . 我的講義中有一個步驟我沒有理解。它說以下
$$ \sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^ng_jg_k\text{Cov}(\epsilon_{n-j},\epsilon_{n+h-k})=\sum_{j=0}^ng_j^2+h\sigma^2 \quad \text{for} \quad h\ge0, $$
有動機的需要 $ k=h+j $ 否則共變異數為零，我們用它來刪除總和 $ k $ ”。
我明白總和超過 $ k $ 被刪除並且我們想要避免零共變異數，但是如何 $ +h\sigma^2 $ 彈出？進行替換 $ k=h+j $ 那麼共變異數就是唯一的變異數 $ \sigma^2 $ （不 $ h $ )，然後乘以總和而不是相加。
$$ {\rm Cov} (\epsilon_{n-j}, \epsilon_{n+h-k}) =\gamma (h-k+j) = \sigma^2 1_{k=h+j} $$
在哪裡 $ 1_A $ 是指標函式，設置為 $ 1 $ if 語句 $ A $ 為真，並設置為 $ 0 $ 否則。
所以雙重求和是：
$$ \sum_{j=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty}g_jg_k\text{Cov}(\epsilon_{n-j},\epsilon_{n+h-k}) $$ $$ = \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} $$ $$ = \sum_{j=0}^{\infty} g_jg_{h+j} \sigma^2 $$
作為
$$ \sum_{k=0}^{\infty} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} = g_jg_{h+j} \sigma^2 $$
作為 $ k $ 從執行 $ 0 $ 至 $ \infty $ , 最後求和中的項是 $ 0 $ 除非當 $ k $ 命中 $ h+j $ ，這將發生在任何給定但固定的情況下， $ h $ .
如果總和是有限的， $ k $ 從執行 $ 0 $ 至 $ n $ ， 然後
$$ \sum_{k=0}^{n} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} = g_jg_{h+j} \sigma^2 1_{h+j \leq n} $$