非正半定共變異數矩陣估計量的證明

眾所周知，如果變數的數量（例如股票數量）超過觀察的數量（例如交易日），共變異數矩陣的標準估計量可能會失去半正定的特性。我認為矩陣可以變得奇異。我很清楚為什麼（受到問題幾何的啟發），但有人對這個事實有簡短但嚴格的證明嗎？

共變異數矩陣的標準估計量是：

$$ \widehat{ \mathrm{cov}}(X) = \frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)(X_i-\bar X)^T, $$ 在哪裡 $ X_i $ 是包含 $ i $ 對所有可觀察物的觀察。每個被加數是向量與其自身的外積，即，秩至多為1的方陣。所以 $$ \mathrm{rk;}\widehat{\mathrm{cov}}(X) \le n $$ 並且矩陣不僅可以而且總是奇異的，如果 $$ n \lt \dim X, $$ 即，如果觀察的數量小於變數的數量。

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編輯：關於半正定性： $ \widehat{ \mathrm{cov}}(X) $ 總是半正定的，因為它是Gramian，即使它的秩不滿。當且僅當它是單數時，它才會失去正定的性質。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/3695