在凱利投資組合優化中計算 M
我的問題
在： $ F^* = C^{−1}[M−R] $ 在哪裡 $ M $ 是一個向量 $ n $ 證券收益，是用於計算漂移率的對數收益或算術收益 $ M $ ?
背景
Thorp 寫道 (8.4)（見第 34 頁第 18 行）：
首先考慮具有投資組合分數的無風險證券（T-bills）的無約束情況 $ f_0 $ 和 $ n $ 具有投資組合分數的證券 $ f_1,\cdots,f_n $ . 假設無風險證券的收益率為 $ r $ 並且，為了簡化討論，這也是藉貸利率和賣空收益支付的利率。讓 $ C=[s_{ij}] $ 是這樣的矩陣 $ s_{ij},i,j=1,\cdots,n $ , 是共變異數 $ i $ 和 $ j $ 證券和 $ M=(m_1,m_2,\cdots,m_n)^T $ 是行向量，使得 $ m_i,i=1,\cdots,n $ , 是漂移率 $ i $ 安全。
繼續（第 34 頁第 38 行）…
那麼我們之前針對一種證券加上無風險證券的公式和結果適用於 $ g_\infty(f_1,…,f_n)=m−s^2/2 $ . 這是一個標準的二次最大化問題。使用 (8.1) 並求解聯立方程 $ ∂g_\infty/∂f_i=0,i=1,…,n $ ，我們得到 $ F^∗=C−1[M−R] $ ,
在Thorps 的第 8.2節中，二十一點體育博彩和股票市場中的凱利標準）表 7（第 31 頁第 27 行）顯示了平均對數回報。進一步向下索普指出：
作為敏感性測試，Quaife 對 BRK 為 (1.15, .20)、BTIM 為 (1.15, 1.0) 和標準普爾 500 指數從 1926 年至1995 來自 Ibbotson (1998) 的 (1.125, .204) 和表 7 的相關性。結果是 BRK、BTIM、標準普爾 500 和國庫券的分數分別為 1.65、0.17、0.18 和 -1.00。平均增長率為 0.19，標準差為 0.30
在對數正常返回與算術返回之間切換時，我發現 $ F^* $ 與對數正常平均收益相比，使用算術平均值時的槓桿率更高 $ M $ 這似乎與被描述為更保守的估計相反。
索普定義 $ g_{\infty} $ 作為平均長期對數投資組合回報。他認為，當投資組合設定時，這是最大化的
$$ F^{*}=C^{-1}(M-R) $$
這是 $ M $ 漂移率向量 $ m_i $ （這些通常表示為 $ \mu $ 在幾何布朗運動中）。這是現在一個相當標準的公式，請參見這裡https://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/papers/portfolio_text.pdf（增長最優投資組合是 CRRA 模型的一個特例 $ \gamma=1 $ ).
安全漂移率 $ i $ 可以估計為 $ m_i=y_i+s_i^2/2 $ ， 在哪裡 $ y_i $ 是平均對數回報和 $ s_i^2 $ 是對數回報的變異數。由於“變異數懲罰”，平均對數回報低於漂移。