如何調整凱利標準以做出天使投資決策？
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考慮一下凱利投資標準，它“是一個公式，用於確定一系列賭注的最佳規模，以使財富的對數最大化”。換句話說，凱利標準幫助投資者在最大化他們的長期預期價值和最小化他們破產的機會之間取得平衡。根據維基百科，這是“簡單模型”的公式：
對於具有兩種結果的簡單投注，一種是輸掉全部投注額，另一種是贏得投注額乘以賠率，凱利投注是：
$$ f^{*} = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b + 1) - 1}{b}, $$ 在哪裡：
- $ f^{*} $ 是目前資金下注的比例，即下注多少；
- $ b $ 是投注的淨賠率 (" $ b $ 至 $ 1 $ “)；也就是說，你可以贏 $ b $ （除了取回你的 $ $1 $ 下注）下注1美元
- $ p $ 是獲勝的機率；
- $ q $ 是失敗的機率，即 1 - $ p $ .
簡單模型的問題在於，它假設您在每個時期按順序投資 1 筆投資。在天使投資的世界中，您可能同時進行許多投資，每項投資都在某個未知的日期獲得回報（即，一項投資可能在 7 年內支付，而另一項投資可能在 1 年內支付）。此外，天使投資回報不一定是二元的（與簡單模型不同）。
2 問題
天使投資人如何改變這種模式，使其適應未知支付期的投資（這樣天使投資人總是有剩餘資金用於另一項投資，如果機會出現）？（知道如何讓它適應非二元投資也很好，但我們現在可以假設二元結果）。
3 嘗試
至少，我們可以嘗試使該模型適應無限數量的投資（在任何投資都必須支付之前）。例如，如果簡單模型建議您應該下注 $ x_1 \in [0,1] $ 您在第一次創業中的資金百分比，以及 $ x_2 \in [0,1] $ 你在第二家創業公司的錢的百分比，那麼我們可以打賭 $ \frac{1}{2^2} x_1 $ 我們在第一次創業中的錢，以及 $ \frac{1}{3^2} x_2 $ 我們在第二次創業中的錢，一般來說 $ \frac{1}{(n+1)^2} x_n $ 我們的錢在 $ n $ 啟動。從長遠來看，這將確保我們永遠不會下注超過
$$ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2} x_n \le \underbrace{\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{6}(\pi^2 - 6)}_{\text{fact from real analysis}} < 1 $$ 我們在任何初創公司集合中的資金的百分比，因此將允許我們進行無限數量的投資而不會耗盡資金。但是我們怎麼知道這個策略甚至接近凱利最優呢？
不幸的是，解決方案並不簡單，因為您可以拿起一張紙或鉛筆，但使用軟體實際上並沒有聽起來那麼糟糕。
首先，請注意，凱利準則完全等同於假設對數效用和最大化財富效用。這在兩個方面很有價值。首先，它允許您對實際問題進行建模，而不是將解決方案強加在與您的實際問題相似的問題上。其次，它允許您將約束完全集成到模型假設中，而不僅僅是返回。
這將從任何基本經濟模型開始
$$ \max_{\boldsymbol{\alpha}}[\mathcal{U}(\tilde{w})], $$在哪裡 $ \boldsymbol\alpha $ 是要從中選擇的分配向量。不過，它最終不會看起來像資本資產定價模型或 APT。 相反，您將對現金流進行建模。您將正式模擬破產機率、公司被合併到另一家公司以獲取現金的機率、公司被股票收購的機率、公司上市和退出 IPO 的機率。由於篇幅過長，無法在此討論的原因，這個問題沒有頻率論的解決方案，只有貝氏的解決方案。
假設您無法訪問行業數據，您可以調整您認為的各種機率，並通過創建低可能性、計劃可能性和高可能性機率來降低風險。如果錢沒有被扔掉，您需要模擬現金再投資率。
如果發生破產，您需要對破產受託人的現金回收進行建模。在合併的情況下，您應該對缺乏適銷性或流動性的折扣進行建模。Ashok Abbott 在他的《估價手冊》一章中提供了很好的估算器。ISBN 是 9780470385791，我用它在研究生課程中講課和作為課程閱讀。
如果您可以訪問市場數據，那麼您對來自債務和優先股的每個現金流量的貝氏概似函式應該建模為伯努利試驗，因為它要麼會被支付，要麼不會被支付。兩者的本金都將使用預期可收回本金的正態分佈建模。股息的概似函式應該是
$$ \frac{\sigma}{\sigma^2+(\delta-f(x))^2}, $$如果預計股息不會保持不變，而是應該隨著時間的推移而增長。在這個表示中， $ \delta $ 是特定的股息，並且 $ f $ 是允許您估計其數量的數據函式。如果您認為會有恆定的紅利、減少的紅利或隨時間線性增長的紅利，那麼您將使用正態分佈。 您確實需要小心一般形式的分佈
$$ \frac{\sigma}{\sigma^2+(x-\mu)^2}. $$ 它們沒有均值或變異數，您不能使用捷徑進行估計。您必須將其作為完整的貝氏估計。 從積極的方面來說，這些高度分離的部分可以建構為整個投資組合的一個非常大、非常高維的貝氏決策理論問題。為此，您應該閱讀 Parmigiani 關於決策理論的書作為入門書。它涵蓋了頻率論和貝氏決策理論，但會給你足夠的背景知識來思考如何將其建構為抽象，一旦你可以抽象它，你就可以編寫算法。
有關股息流程的更多資訊，請參閱
哈里斯，DE（2017 年）收益分佈。數學金融雜誌, 7, 769-804
有關決策理論的更多資訊，請參閱
Parmigiani, G. 和 Inoue, L. (2009) 決策理論：原則和方法。威利機率與統計系列，奇切斯特，155-171。
這裡沒有真正的答案，而是一些想法：