改變措施
我正在研究希爾估計量的推導。這是 $ \bar{F}(x) = 1 - F(x) $ 分佈的右尾。在推導中，他們使用等式 $$ \frac{1}{\bar{F}(u)}\int\limits_u^\infty (\log(x)-\log(u))dF(x) = -\frac{1}{\bar{F}(u)}\int\limits_u^\infty (\log\left(\frac{x}{u}\right)d\bar{F}(x) $$
我覺得是這樣的 $ dF(x) = d(1 - \bar{F}(x)) = d(1) -d\bar{F}(x) = 0 - d\bar{F}(x) $ . 我有點理解它 $ dF(x) $ 變成 $ -d\bar{F}(x) $ ，但我缺乏準確的解釋。這種變換是否有數學解釋/定理，我認為即使是伊藤的引理也給了我正確的直覺。
沒有精確的定義，就不可能有精確的論據。一般來說，這裡積分的適當概念是 Lebesgue-Stieltjes 積分。在一個相當一般的設置中，讓 $ F: \mathbb R \to \mathbb R $ 是一個具有局部有界變化的右連續函式，即 $$ V_F([a,b]) := \sup\lbrace \sum_{i=1}^n \vert F(x_{i+1}) - F(x_i ) \vert :; a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b , n \in\mathbb N \rbrace < \infty\quad \forall a < b $$ 這樣的函式可以寫成 $ F = f - g $ 對於右連續、單調增長的函式 $ f, g $ . 然後， $ \mu^f ([a, b[) := f(b) - f(a) $ 和 $ \mu^g $ 類似地 $ g $ 定義度量（實際上，它們是半開區間生成的環上的預度量）。通過標準程序，這可以擴展到外部度量，因此可以擴展為度量（這被稱為 Caratheodory 構造，請參閱 Rudin 實數和復數分析）。這給出了分解 $ \mu^F = \mu^f - \mu^g $ ， 在哪裡 $ \mu^f, \mu^g $ 是真正的、積極的措施和 $ \mu^F $ 是一個簽署的措施。一般來說， $ f, g $ 和 $ \mu^f, \mu^g $ 不是唯一的，但可以選擇它們，使得 $ \mathbb R = A \cup B $ 和 $ A \cap B = \emptyset $ ， 和 $ \mu^f (A) = \mu^g (B) = 0 $ . 這種分解稱為 Hahn-Jordan 分解（然後，度量 $ \vert \mu^F \vert := \mu^f + \mu^g $ 被稱為絕對變化 $ \mu^F $ 和 $ V_F ([a,b]) = \vert \mu^F \vert ([a,b]) $ ).
現在，如果你有一個機率變數 $ X $ , $ F(x) := P [X \leq x] $ 定義了一個右連續函式，它確實有界變化，因此你可以定義一個積分 $$ \int_U h,d F = \int_U h,d\mu^F = \int_U h,d\mu^f - \int_U h,d\mu^g $$ 在這裡並不重要 $ \mu^F = \mu^f - \mu^g $ 是 Hahn-Jordan 分解，但任何分解都有效並給出相同的結果（實際上這是關鍵的觀察結果，證明應該在任何關於簽名或複雜度量的文本中）。
然而，在 $ \overline{F} $ , 一種可能的分解是 $ \overline F = 0 - (-1 + F), f = 0, g = -1 + F $ . 這給你 $$ \int h,d\overline F = -\int h,d (-1 + F) $$ 但現在很明顯 $ (-1 + F)(b) - (-1 + F)(b) = F(b) - F(a) $ ， 所以 $$ \int h,d(-1 + F) = \int h,dF $$
編輯：順便說一下，有符號的度量構成了一個向量空間，這與 BV 函式的向量空間結構兼容，所以 $ d(1-F) = d(1) - dF $ 確實是一個有效的論點。但我覺得它錯過了重點。