塔勒布的黑天鵝：指數的解釋
我正在閱讀塔勒布的《黑天鵝》（2020 年修訂版）。在第 16 章“隨機性的美學”中，他描述了指數在外推上下文中的含義。在第 265 頁有一個表（表 3），其中描述瞭如果指數達到 $ 1 $ 然後是頂部的份額 $ 1 $ % 幾乎代表整個集合（ $ \approx99.99 $ %).
我不明白這怎麼可能？讓我們設置一個簡單的說明性範例：
$ 30 $ 米人賺 $ 50,000 $ 美元
$ 15 $ 米人賺 $ 100,000 $ 美元
$ 7.5 $ 米人賺 $ 200,000 $ 美元
$ \cdots $
$ 1 $ 人賺 $ \approx1.6 $ 萬億美元。
現在，如果您考慮頂部 $ 1 $ %，即 $ 300,000 $ 人，把他們的收入加起來，那麼這個份額甚至不接近 $ 90 $ %.
我錯過了什麼？或者，塔勒布的例子是否含糊不清，以至於無法建立一個合適的例子？
我終於明白了這個例子背後的想法。為了在更一般的環境中說明它，我將提供一個嚴格的證明：
讓 $ x_k $ 表示工資和 $ b_k $ 掙錢的人數 $ x_k $ 或者更多。根據 Taleb 提出的冪律，我們有：
$ x_{k}:=x_02^k $ 和 $ b_k:=b_0\left(\frac{1}{2}\right)^{ka} $ ， 在哪裡 $ a\geq1 $ 和 $ k\in \mathbb{N} $ .
所有收入的總和由下式給出：
$$ W_0:=\sum\limits_{k=0}^nx_k\left(b_k -b_{k+1}\right)=\sum\limits_{k=0}^nx_02^k\left(b_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{ka}-b_0\left(\frac{1}{2}\right)^{(k+1)a}\right)=\sum\limits_{k=0}^nb_0x_02^{k(1-a)}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)b_0x_0\sum\limits_{k=0}^n2^{k(1-a)}=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)\frac{b_0x_0}{1-2^{1-a}}\left(1-2^{n(1-a)}\right). $$ 然後是頂部所賺取的所有收入的總和 $ q $ % 僅由上述總和的最後一項表示。所以總和從某個索引開始 $ k=m $ . 因此， $$ W_q:=\sum\limits_{k=m}^nx_k\left(b_k -b_{k+1}\right)=\cdots=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)\frac{b_0x_0}{1-2^{1-a}}\left(2^{m(1-a)}-2^{n(1-a)}\right). $$ 假設 $ a>1 $ ，我們得到了頂部的份額 $ q $ % 除以： $ \frac{W_q}{W_0}=\frac{\left(2^{m(1-a)}-2^{n(1-a)}\right)}{1-2^{n(1-a)}} $ . 如果 $ n\to\infty $ ，這意味著我們會不斷提高工資，看看我們會得到多少人： $ \frac{W_q}{W_0}=2^{m(1-a)} $ （請注意，術語消失是因為 $ a>1 $ ）。查找相關索引 $ m $ 我們簡單地取對數： $ m=\frac{\log_2(q)}{a} $ 並將其插入 $ \frac{W_q}{W_0}=2^{m(1-a)} $ . 因此，我們假設減半或任何其他減少數量的方法實際上是無關緊要的，因為 $ 2 $ 取消： $ \frac{W_q}{W_0}=2^{\frac{\log_2(q)}{a}(1-a)}=q^{\frac{a-1}{a}} $ .
例子：
1.) 頂部份額 $ 1 $ ％ 和 $ a=1.1 $ . 這產生： $ \frac{W_{0.01}}{W_0}=0.01^{\frac{1.1-1}{1.1}}\approx0.66 $ .
2.) 頂部份額 $ 1 $ ％ 和 $ a=1.3 $ . 這產生： $ \frac{W_{0.01}}{W_0}=0.01^{\frac{1.3-1}{1.3}}\approx0.35 $ .
3.) 如果 $ a=1 $ 然後是頂部的份額 $ 1 $ ％ 是 $ 100 $ %.