基於美元成本平均的終端財富分配

如果每月股票市場收益服從 IID 對數正態分佈，那麼多年投資的終末財富分佈也是對數正態分佈。每年增長 x% 的月度投資的最終財富分佈是什麼，反映了投資每張薪水一小部分的人的經驗？

我知道你假設乘法總回報， $ W_t=W_{t-1}R_{t-1,t}=W_{t-2}R_{t-1,t}R_{t-2,t-1} $ 等等。

假設您正在投資 $ I $ 在開始時，將您的投資增加一倍 $ 1+\alpha $ 每個時期，那麼您的（隨機）最終財富將是：

$$ \begin{align} W_N&=I\left[\prod_{i=1}^NR_i+(1+\alpha)\prod_{i=2}^NR_i+\ldots+(1+\alpha)^{N-2}R_{N-1}R_{N}+(1+\alpha)^{N-1}R_N\right]\ &=I\sum_{j=1}^ {N}(1+\alpha)^{j-1}\prod_{i=j}^NR_i \end{align} $$

由於對數正態分佈沒有明確定義的特徵函式，因此該分佈不存在合理的封閉形式/簡單的類似數值積分的表示。當然，您可以計算 $ W_N $ 並通過圍繞對數正態分佈的Cornish-Fisher 展開來試試運氣，或者類似的東西。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/69394