分銷
損失組合的極限分佈是什麼？
我正在研究Vasicek 的投資組合損失分佈的這篇論文。
在第 3 頁，他提到根據大數定律，
$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{\lfloor nx \rfloor} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} = 1_{{x \ge s }} $$在哪裡 $ s \in (0,1) $ , 這裡 $ x $ 是一個實數， $ k $ 是一個整數並且 $ \binom{n}{k} $ 是二項式係數。
但我不太明白為什麼會這樣。
我嘗試過某種二項式分佈論點，但不是很成功！
任何幫助將不勝感激。
$$ \begin{split}\sum_{k=0}^{[nx]}\binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k}& =\sum_{k=0}^n \mathbb{1}{k\leq [nx]} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} \ & = \sum{k=0}^n \mathbb{1}_{k\leq nx} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} \ & = \mathbb{P}(\mathcal{B}(n,s)\leq nx)\ & = \mathbb{P}\left(\frac{\mathcal{B}(n,x)}{n}\leq x\right)\end{split} $$ 在哪裡 $ \mathcal{B}(n,s) $ 是參數的二項式 $ (n,s) $
使用你得到的大數定律 $ \frac{\mathcal{B}(n,s)}{n}\to_{n\to\infty} s $ 你可以得出結論。