引導零票面利率
我們如何獲得貼現率以在僅給定掉期利率的情況下獲得零票面利率？程序是什麼？還有究竟什麼是曲線校準？
一般來說，請參閱Brigo 和 Mercurios 關於利率建模的精彩書籍中的定義 1.5.3，即帶有付款日期的遠期掉期利率 $ T_{\alpha+1},…,T_\beta $ 是（誰）給的 $$ \begin{align*} S_{\alpha,\beta}(t) = \frac{P(t,T_\alpha)-P(t,T_\beta)}{\sum\limits_{i=\alpha+1}^\beta \tau(T_{i-1},T_i)\cdot P(t,T_i)}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \tau $ 測量相對於任何白天時間慣例的兩個時間點之間的差異。 $ P(t,T) $ 是時候 $ t $ 到期的無違約零息債券價格 $ T $ 支付面值1美元。
使用這個等式，給定所有貼現因子（零息債券），您可以建構整個掉期曲線。另一方面，如果你知道所有的掉期利率，你就可以恢復零息債券曲線。
我給你一個簡單的例子，假設如下。讓 $ t=0 $ 並假設掉期每半年支付一次，因此 $ \tau(T_{i-1},T_i)=\frac{1}{2} $ . 進一步假設交換立即開始，因此 $ T_\alpha=t=0 $ （注意 $ S_{0,\beta}(t) $ 稱為即期掉期利率）。我將進一步使用連續複利，使得 $ P(t,T)=e^{-r_{t,T}\cdot\tau(t,T)} $ 在哪裡 $ r $ 是相應的零利率（即即期利率）。最後，假設掉期在兩年內到期，並在 6 個月、12 個月、18 個月和 24 個月內支付。這表示 $ \beta=4 $ 和 $ T_1=0.5 $ , $ T_2=1 $ , $ T_3=1.5 $ 和 $ T_4=2 $ . 然後，上面的公式簡化為 $$ \begin{align*} S_{0.5} &= \frac{1-e^{-r_{0.5} \cdot 0.5}}{\frac{1}{2}e^{-r_{0.5} \cdot 0.5}}, \ S_{1} &= \frac{1-e^{-r_{1} \cdot 1}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1} \right)}, \ S_{1.5} &= \frac{1-e^{-r_{1.5} \cdot 1.5}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1}+ e^{-r_{1.5}\cdot 1.5} \right)},\ S_{2} &= \frac{1-e^{-r_{2} \cdot 2}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1}+ e^{-r_{1.5}\cdot 1.5}+ e^{-r_{2}\cdot 2} \right)}. \end{align*} $$
然後，您可以逐步獲得零利率。看看第一個方程，你就知道了 $ S_{0.5} $ 從你的交換曲線。求解這個方程以獲得 $ r_{0.5} $ . 有了這個值，進入下一個方程，取 $ S_{1} $ 從您的交換曲線中，插入所有內容並解決 $ r_1 $ 等。這樣您就可以獲得所有的零利率，因此，根據定義，您也可以獲得債券價格（折扣因子）。如果您更改複利方法或您的掉期按年或按季度支付，則同樣的邏輯（以及頂部的公式）適用。
編輯
只是為了澄清，選擇 $ P(t,T)=e^{-r_{t,T} \tau(t,T)} $ 只是一個例子，當然，也可以使用離散利率。相反，可以簡單地設置 $ P(t,T) = \left( 1+\frac{y^k_{t,T}}{k} \right)^{-k\tau(t,T)} $ 為一個 $ k $ 每年復利的次數。但是，離散率和連續率之間存在明顯的關係，因此您始終可以將一種轉換為另一種。兩種方法是等效的。
此外，我會非常小心地直截了當地譴責所有“物理微積分”，因為事實證明，使用時間連續模型對衍生品合約進行定價和套期保值是非常成功的。
首先，您需要用其他一些短期利率來補充掉期利率（從 2 年到期開始）。LIBOR 現金利率適用於 1 天、1 週、1 個月、3、6 和 12 個月。
請注意，LIBOR 利率可能會在明年取消，取而代之的是 SOFR 利率，但尚不清楚監管機構是否能夠在截止日期前及時實施這一變化。LIBOR 太重要了，不能在監管機構規定的日期被“關閉”——市場將關閉並導致經濟混亂。監管機構可能會盡快推動 SOFR 的採用，但到目前為止還存在很多實施問題。
其次，掉期通常在固定方面支付（和復合）半年一次 - 而不是 KeSchn 的答案所暗示的“連續時間”。e 的 x 次方不應出現在債券公式中；有多少物理學博士試圖將物理微積分引入金融領域並不重要。固定的掉期合約每半年復合一次。它不僅是不必要的物理方程，而且是錯誤的。
我為一家大型銀行編寫量化算法，並共同撰寫了一本關於自舉算法的書。大多數大銀行已經不再使用連續時間模型（e 到 x），因為像我這樣的人用正確的模型套利那些錯誤的模型賺了很多錢:)