Hull-White模型下每日復利掉期的凸度調整
我正在研究一個在赫爾-懷特 1 因子模型下處理 OIS 每日復合掉期的問題。在延遲付款日期，我正在努力為浮動腿定價：
$ E^{T^p}t[\prod{i=0}^{n-1} (1 + \tau_i L_i)] $
在哪裡 $ L_i = L(t_i; t_{i+1}, t_{i+1}) $ 是（每日）遠期匯率， $ \tau_i $ 是連續工作日之間的應計因素，並且 $ T^p > t_{n} $ 是延遲付款日期。
我的想法是推導出 $ \prod_{i=0}^{n-1} (1 + \tau_i L_i) = \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} $ 在下面 $ T^p $ -measure，但是計算太討厭了，誰能給我一些提示/參考來做到這一點？非常感謝。
您可以使用連續的短期利率之一來近似 O/N 利率的每日復利： $$ \prod_{i=0}^{n-1} (1 + \tau L_i)= \prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{P(t_i,t_{i+1})} \approx \exp \left(\int_{t_0}^{t_n} r(u)du \right) $$
這是一個合理的近似值。如果您需要證明或評估錯誤，您可以從以下形式的 Hull-White 下的零息債券價格表達式開始： $$ P(t,t+\varepsilon) = \exp \left(A(t,t+\varepsilon) - r(t)B(t,t+\varepsilon) \right) $$ 看看會發生什麼 $ A $ 和 $ B $ 條件： $ \varepsilon \rightarrow 0 $ .
接下來可以推導出表達式 $ \int_{t_0}^{t_n} r(u)du $ 在 Hull-White 模型下和 $ T_p $ 措施。我認為最簡單的方法是在風險中性度量下工作，從短期利率的積分中得到短期利率積分的表達式，然後使用 Girsanov 將度量改為 $ T_p $ .
一旦你有了這個，就很容易得到期望的期望。
我沒有包括任何明確的推導，而是你問的提示。但是，如果您陷入其中一個步驟，請告訴我，我可能會提供幫助。
我們知道 $$ 1+\tau_iL_i=\frac{1}{P(t_i,t_{i+1})} $$ 並且，在風險中性措施下， $$ P(t,T)=P(0,T)\exp\left(\int_0^tr(s),ds+\int_0^t\sigma(s,T),dW_s-\frac{1}{2}\int_0^t\sigma^2(s,T),ds\right),.\quad\quad\quad (1) $$ 使用 $ P(t_i,t_i)=1 $ 這意味著 $$ \begin{align} P(t_i,t_{i+1})&=\frac{P(0,t_{i+1})}{P(0,t_i)}\exp\Bigg(\int_0^{t_i}\sigma(s,t_{i+1})-\sigma(s,t_i),dW_s\ &\quad\quad-\frac{1}{2}\int_0^{t_i}\sigma^2(s,t_{i+1})-\sigma^2(s,t_i),ds \Bigg),. \end{align} $$ 所以， $$ \begin{align} \prod_{i=0}^{n-1}1+\tau_iL_i&=\frac{P(0,t_0)}{P(0,t_n)}\exp\Bigg(\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^{t_i}\sigma(s,t_i)-\sigma(s,t_{i+1}),dW_s\ &\quad\quad-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2}\int_0^{t_i}\sigma^2(s,t_i)-\sigma^2(s,t_{i+1}),ds \Bigg),. \end{align} $$ 此外，（1）意味著 $ P(T,T)=1 $ 那 $$ \exp\left(-\int_0^{T}r(s),ds\right)=P(0,T)\exp\left(\int_0^T\sigma(s,T),dW_s-\frac{1}{2}\int_0^T\sigma^2(s,T),ds\right),. $$ 所以我們必須計算期望 $$ \begin{align} \exp\left(-\int_0^{T}r(s),ds\right)\left(\prod_{i=0}^{n-1}1+\tau_iL_i\right) \end{align} $$ 這是 $$ \frac{P(0,t_0)P(0,T)}{P(0,t_n)}\exp\left(-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2}\int_0^{t_i}\sigma^2(s,t_i)-\sigma^2(s,t_{i+1}),ds-\frac{1}{2}\int_0^T\sigma^2(s,T),ds\right) $$ 乘以對數正態變數的期望 $$ e^Y:=\exp\left(\int_0^T\sigma(s,T),dW_s+\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^{t_i}\sigma(s,t_i)-\sigma(s,t_{i+1}),dW_s\right),. $$ 要計算該期望，您只需要知道 $ Y $ 這是形式積分的總和 $$ \begin{align} &\int_0^{t_i}(\sigma(s,t_i)-\sigma(t_{i+1}))(\sigma(s,t_j)-\sigma(t_{j+1})),ds\quad\quad i\le j\ &\int_0^{t_i}(\sigma(s,t_i)-\sigma(t_{i+1}))\sigma(s,T),ds,. \end{align} $$ 這是最明確的。即使使用與時間相關的 HW 形式 $ \sigma(t,T),, $ 那是， $$ \sigma(t,T)=\int_t^T\sigma(s)\exp\left(-\int_s^T\lambda(u),du\right),ds $$ 沒有多大幫助，除非你假設恆定的均值回歸 $ \lambda $ 和不斷的波動 $ \sigma $ 的短期利率。