曲線交易 - 遠期掉期與掉期（付款方和接收方）
假設我想做一個陡峭的交易。有什麼區別
- 從 5 年開始進入交換並持續 5 年 (5y5y)
- 進入期限為 10 年的付款人互換和期限為 5 年的接收人互換
非常感謝您的幫助:)
選項 1 不是更陡峭的交易。5y5y 遠期利率將向上移動，這是一個徹底的看跌交易。選項 2 是一個陡峭的交易，如果 dv01 在 5 年和 10 年腿上相等。忽略折扣，您需要支付固定的 50 毫米 10 年而不是接收 100 毫米 5 年，以使其持續時間中性，從而進行曲線交易。
我們假設一個單曲線環境。讓我們回顧一下當時固定的浮動 LIBOR 付款 $ T $ 並按時付款 $ T^\prime $ 可以寫成零息債券： $$ L(t,T,T^\prime):=\frac{1}{T^\prime-T}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T^\prime)}-1\right) $$ 讓 $ \mathcal{T}:={T_0,\dots,T_n,\dots,T_m} $ 是一個時間表，使得現貨 5 年互換開始固定在 $ T_0 $ 並在 $ T_n $ ，而 10 年即期掉期停止支付 $ T_m $ . 讓 $ \delta_i:=T_i-T_{i-1} $ 是應計分數。我們表示 $ S_{5y} $ , $ S_{10y} $ 和 $ S_{5y5y} $ 分別是 3 種掉期利率 $ - $ 用不言而喻的符號。我們假設浮動腿和固定腿之間以及 5 年和 10 年互換之間的日期約定相同，以避免不必要的並發症。掉期利率為 $ k\in{1,\dots,m} $ 定義為：
$$ \begin{align} S_\bullet := \frac{\sum_{i=1}^k\delta_iP(t,T_{i-1},T_i)L(t,T_{i-1},T_i)}{\sum_{i=1}^k\delta_iP(t,T_{i-1},T_i)} \end{align} $$
首先，請注意 10 年減去 5 年交易的浮動邊值等於： $$ \begin{align} &V_{10y}^{\text{Flt}}-V_{5y}^{\text{Flt}} \ &\qquad=\sum_{i=1}^m\delta_iP(t,T_i)L(t,T_{i-1},T_i)- \sum_{j=1}^n\delta_iP(t,T_i)L(t,T_{i-1},T_i) \ &\qquad=(P(t,T_0)-P(t,T_m))-(P(t,T_0)-P(t,T_n)) \[8pt] &\qquad=P(t,T_n)-P(t,T_m) \[3pt] &\qquad=\sum_{i=n+1}^m\delta_iP(t,T_i)L(t,T_{i-1},T_i) \[3pt]\tag{1} &\qquad=V_{5y5y}^{\text{Flt}} \end{align} $$ 因此，10y 減去 5y 的浮動邊值等於 5y5y 掉期的值。現在，從 10y 減去 5y 位置的固定腿的值是： $$ \begin{align} &V_{10y}^{\text{Fix}}-V_{5y}^{\text{Fix}} \ &\qquad=\sum_{i=1}^m\delta_iP(t,T_i)S_{10y}- \sum_{j=1}^n\delta_iP(t,T_i)S_{5y} \ &\qquad=\sum_{i=n+1}^m\delta_iP(t,T_i)S_{10y} +\sum_{i=1}^n\delta_iP(t,T_i)S_{10y} -\sum_{j=1}^n\delta_iP(t,T_i)S_{5y} \ &\qquad=\frac{S_{10y}}{S_{5y5y}}V_{5y5y}^{\text{Fix}} +\left(\frac{S_{10y}}{S_{5y}}-1\right)V_{5y}^{\text{Fix}} \ &\qquad=V_{5y5y}^{\text{Fix}}\left(\frac{S_{10y}}{S_{5y5y}} +\left(\frac{S_{10y}}{S_{5y}}-1\right) \frac{V_{5y}^{\text{Fix}}}{V_{5y5y}^{\text{Fix}}}\right) \end{align} $$ 注意，如果曲線是平的，那就是 $ S_{5y}=S_{10y}=S_{5y5y} $ ，您恢復@emot 的兩種策略相同的聲明。另一種思考 5y5y 變陡器的方法是引入固定腿年金，其定義為： $$ \begin{align} A_\bullet&:=\sum_{i=\bullet}^\bullet\delta_iP(t,T_{i-1},T_i) \[4pt]\tag{2} &=\frac{V_\bullet^{\text{Flt}}}{S_\bullet} \end{align} $$ 然後使用 $ (2) $ , $ (1) $ 並註意到 $ A_{10y}=A_{5y5y}+A_{5y} $ ，您可以將 5y5y 率改寫如下： $$ \begin{align} S_{5y5y} &=S_{10y}+(S_{10y}-S_{5y})\frac{A_{5y}}{A_{5y5y}} \end{align} $$
我預計年金比率在上升曲線中接近但高於 1，因此當您做多 5y5y 掉期時，您似乎更容易受到 10 年利率上升的影響： $$ S_{5y5y}\approx 2S_{10y}-S_{5y} $$ 另一方面： $$ \begin{align} S_{10y}-S_{5y}&=(S_{5y5y}-S_{10y})\frac{A_{5y5y}}{A_{5y}} \ &\approx S_{5y5y}-S_{10y} \end{align} $$ 根據掉期利率的定義，您可以觀察到它可以解釋為掉期期間 LIBOR 利率的平均值。因此，如果第二個 5 年期間的平均值大於整個期間的平均值，則 10 年至 5 年的交易利潤，即第二個時期的利率大於第一個時期的利率。因此，10y-5y 似乎是更陡峭的更好策略。