對於具有非自然重置滯後的利率互換，正確的凸性調整是什麼？
我正在研究利率掉期（此後是 IRS）的估值，這幾乎是香草的一個小調整。浮動腿每月支付 3 個月的 LIBOR。準確地說：浮動腿每月重置一次，重置日通行的 3M LIBOR 在每月間隔結束時支付。付款當然按 1 個月的周期計算（乘以相當於這個月週期的年分數）。我覺得我應該像在拖欠 IRS 的情況下一樣使用凸度調整（但這次調整會有所不同）。誰能指導我針對這種情況進行適當的凸度調整？
成熟期：5年。浮動腿：基於重置日期通行的 3M LIBOR 的每月付款（重置日期每月發生在每個月息票期開始前 2 個工作日）。固定腿：年度固定付款。
我發現的最接近的案例是在偉大的 Brigo 和 Mercurio 書籍“利率模型 - 理論與實踐”13.8.5 第 566 頁“Forward Rates Resettung Unnaturally and Average-Rate Swap”中。但是 Brigo 和 Mercurio 討論了在自然付款日期之後付款的契約（在我的情況下是在自然付款日期之前）。
考慮一個日期序列
$$ \begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_p < T_e, \end{align*} $$ 在哪裡 $ t_0 $ 是估值日期， $ T_s $ 是 Libor 開始日期， $ T_p $ 是付款日期，並且 $ T_e $ 是 Libor 的結束日期。讓 $ \Delta_s^e = T_e-T_s $ . 為了 $ 0\le t \le T_s $ ， 定義 $$ \begin{align*} L(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*} $$ 在哪裡 $ P(t, \mu) $ 是當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ \mu $ 和單位面值。 讓 $ Q^{T_e} $ 表示 $ T_e $ - 前向測量和 $ E^{T_e} $ 表示相應的期望運算元。此外，讓 $ Q^{T_p} $ 表示 $ T_p $ - 前向測量和 $ E^{T_p} $ 表示相應的期望運算元。我們試圖計算由定義的值
$$ \begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big). \end{align*} $$ 請注意，對於 $ 0 \le t \le T_p $ , $$ \begin{align*} \eta_t \equiv \frac{dQ^{T_p}}{dQ^{T_e}}\big|{t} = \frac{P(t, T_p)P(0, T_e)}{P(0, T_p)P(t, T_e)}. \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{\eta{T_p}}{\eta_{t_0}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big),\tag{1} \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta_p^e = T_e-T_p $ . 我們假設在 $ T_e $ - 前向測量 $ Q^{T_e} $ ,
$$ \begin{align*} dL(t, T_s, T_e) &= \sigma_s L(t, T_s, T_e) d W_t^s,\ dL(t, T_p, T_e) &= \sigma_p L(t, T_p, T_e)d\Big(\rho W_t^s + \sqrt{1-\rho^2}W_t^p\Big), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \sigma_s $ , $ \sigma_p $ ， 和 $ \rho $ 是一些常數，並且 $ {W_t^s, 0 \le t \le T_s} $ 和 $ {W_t^p, 0 \le t \le T_s} $ 是兩個獨立的標準布朗運動。然後， $$ \begin{align*} &\ L(T_s, T_p, T_e) L(T_s, T_s, T_e) \ =&\ L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e) e^{-\frac{\sigma_s^2}{2}(T_s-t_0) -\frac{\sigma_p^2}{2}(T_s-t_0) + \sigma_s\big(W_{T_s}^s -W_{t_0}^s\big) + \sigma_p\Big(\rho \big(W_{T_s}^s - W_{t_0}^s\big) + \sqrt{1-\rho^2}\big(W_{T_s}^p - W_{t_0}^p\big)\Big)}. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} E^{T_e}\big(L(T_s, T_p, T_e) L(T_s, T_s, T_e) \big) = L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e)e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}. \end{align*} $$ 從 $ (1) $ 以上， $$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)\left(L(t_0, T_s, T_e) + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e)e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}\right)\ =&\ P(t_0, T_e)L(t_0, T_s, T_e)\left(1 + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}\right)\ =&\ P(t_0, T_p)L(t_0, T_s, T_e)\frac{1 + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)}\ =&\ P(t_0, T_p)\left[L(t_0, T_s, T_e) + \frac{\Delta_p^eL(t_0, T_s, T_e)L(t_0, T_p, T_e)\left(e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}-1 \right)}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)}\right]. \end{align*} $$ 在這裡，術語 $$ \begin{align*} \frac{\Delta_p^eL(t_0, T_s, T_e)L(t_0, T_p, T_e)\left(e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}-1 \right)}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)} \end{align*} $$ 是凸度調整。在實踐中，您可以假設 $ \rho\approx 1 $ 和 $ \sigma_p\approx\sigma_s $ .
這似乎是一次（短期，只有 3 個月）CMS 交換。我寫了一篇關於為它們定價的不同方法的論文，可在此處獲得。您可以選擇最適合您需求的一種。