CIR 模型問題 - 導出 PDE，Feynman-Kac
我正在審查CIR 模型問題，其中 $ r_t $ 有以下動態
$$ dr_t=a(b-r_t)dt+\sigma \sqrt{r_t} dW_t^* \quad \quad (1) $$ 對於一些常數 $ ab>\frac{\sigma^2}{2} \quad $ 令 T 為固定日期，並且 $ f_{\lambda} $ 為某個常數定義的函式 $ \lambda >0 $
$$ f_{\lambda}(t,r)=E^*[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t=r] \quad \quad (2) $$ a) 導出函式滿足的 PDE $ f_{\lambda} $
b) 顯示函式 $ f_{\lambda} (t,r)=e^{-A_{\lambda}(T-t)-B_{\lambda}(T-t)r_t} $ 滿足 PDE
我猜主題函式可以表示為
$$ f(t,r_t)=e^{- \lambda r} \quad \quad (3) $$ 我的第一個想法就是計算 $ df(t,r_t) $ 使用 Ito 公式並代入 $ dr_t $ 這將產生
$$ df(t,r_t)=f_t dt + f_r dr_t+ \frac{1}{2} f_{rr} d<r>t= $$ $$ =(f_t + a(b-r_t) f_r + \frac{1}{2} r f{rr})dt+ \sigma \sqrt{r_t} dW_t^* \quad \quad (4) $$ 它不是已經回答了一個嗎？
但是，該解決方案提出了一種我不理解的不同方法。它給出了 Feynman-Kac 方程作為 a) 的解，
進一步的方程 $ f_{\lambda} (t,r)=e^{-A_{\lambda}(T-t)-B_{\lambda}(T-t)r_t} $ 代入 Feynman-Kac 方程，然後使用 2 ODE 的系統 $ A(\tau) $ $ B(\tau) $ 是派生的。
有人可以解釋一下程序嗎？我在這裡錯過了“大局”。
我不明白為什麼它從 Feynman-Kac 開始，為什麼只推導 A 和 B 已經證明它們滿足 PDE。
這是我的 2 美分：
a)有條件的期望總是可以看作是鞅（這是塔屬性的直接結果）。因此，我們這裡有
$$ M_t := E^*[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t] $$ 是鞅。 將伊藤引理應用於 $ M_t = f_{\lambda}(t,r_t) $ 正如你所做的那樣是一個很好的起點。但是這樣做會給你留下一個 SDE，而不是 PDE。
現在，因為 $ M_t $ 是一個鞅，鞅表示定理告訴你它的漂移應該嚴格為零。根據您對 Ito 引理的應用，將漂移等同於零會給您以下 PDE，需要滿足 $ f_{\lambda}(t,r) $ :
$$ \frac{\partial f_{\lambda}}{\partial t}+ a\left(b-r\right)\frac{\partial f_{\lambda}}{\partial r}+\frac{1}{2}\sigma^{2}r\frac{\partial^{2}f_{\lambda}}{\partial r^{2}} = 0 $$ 這正是費曼-卡茨公式。
請注意，您的等式（3）是錯誤的（並且無用）。相反，我們可以寫的是：
$$ M_T = f_{\lambda}(T,r_T) = E^*[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_T]=e^{-\lambda {r_{T}}} $$ 這可以看作是 PDE 的終止條件。 b) 表明提議的
$$ f_{\lambda} (t,r_t)=e^{-A_{\lambda}(T-t)-B_{\lambda}(T-t)r_t} $$ 實際上是剛剛導出的 PDE 的解決方案，您需要插入這個特定的表達式 $ f_{\lambda} (t,r_t) $ 在 PDE 中並驗證生成的 RHS 確實等於零。在這裡，確實可以驗證此條件（對於兩者的唯一值 $ A_{\lambda} $ 和 $ B_{\lambda} $ 可以解決），因此您確實找到了問題的解決方案。 希望這可以幫助。