恆定連續前向速率插值
假設連續複利的遠期利率在兩個節點之間是恆定的。這兩點之間的內插折扣因子是多少？
所以你有兩個折扣因子 $ D_{10} $ 和 $ D_{12} $ . 什麼是 $ D_{11} $ ?
假設兩個節點之間的（年化的、連續複合的）遠期利率，比如說 $ t_{10} $ 和 $ t_{12} $ , 是常數, 說 $ f_{10,12} $ ，則連續兩個結的折扣因子將如下連結：
$ D_{12}=D_{10}e^{-f_{10,12} \left(t_{12}-t_{10}\right)}=D_{10}e^{-2f_{10,12}} $
從中很容易推斷出公式 $ t_{11} $ ,
$ D_{11}=D_{10}e^{-f_{10,12} \left(t_{11}-t_{10}\right)}=D_{10}e^{-f_{10,12}} $
或者，您可以使用
$ D_{11}=D_{12}e^{f_{10,12}} $
Re-first comment，我們可以重新排列第一個等式以根據 D 得到 f：
$ D_{12}= D_{10}e^{-f_{10,12} \left(t_{12}-t_{10}\right)} $
$ \frac{D_{12}}{ D_{10}}=e^{-f_{10,12} \left(t_{12}-t_{10}\right)} $
$ \ln \frac{D_{12}}{ D_{10}}=-f_{10,12} \left(t_{12}-t_{10}\right) $
$ f_{10,12} =-\frac{1}{t_{12}-t_{10}}\ln \frac{D_{12}}{ D_{10}}=\frac{1}{t_{12}-t_{10}}\ln \frac{D_{10}}{ D_{12}} $
重新評論，假設 $ s<t<T $ ，我假設你的 $ \hat t=s $ 在這個意義上。所以，如上所述， $ D_t $ 和 $ D_s $ 將連結如下：
$ D_t=D_{ s}e^{-f(t-s)} $
現在我認為您假設 f 在整個男高音中是恆定的：
$ f=-\frac{1}{T-s}\ln \frac{D_T}{D_s} $
將此 f 代入前面的方程，然後重新排列指數中的項，以便我們可以取消 e 和 ln：
$ D_t=D_{s}e^{\frac{t-s}{T-s}\ln \frac{D_T}{D_s}}=D_{ s}e^{ln \left(\frac{D_T}{D_s}\right)^\frac{t-s}{T-s}} $
因此，
$ D_t=D_{ s} \left(\frac{D_T}{D_s}\right)^\frac{t-s}{T-s}=D_{ s} D_s^{-\frac{t-s}{T-s}}D_T^{\frac{t-s}{T-s}}=D_s^{\frac{T-t}{T-s}}D_T^{\frac{t-s}{T-s}} $