建構蝴蝶利率投資組合以消除 PCA 敞口
我有 2012 年到 2016 年的利率數據，期限從 2 個月到 30 年，總共可以計算 10 個主成分。然後我想建構一個投資組合，$$ WFLY = w_1 *5Y - 7Y +w_2 * 10Y $$，這個投資組合不會暴露於前兩個主成分，水平和斜率。如何確定係數 $ w_1 $ 和 $ w_2 $ ?
讓 $ S $ 成為您（隱含的）10 種工具中的每一種的風險數組，以 pv01 表示。除了對應於 5Y、7Y 和 10Y 風險的那些之外，您將數組限制為全零，例如，如果 1Y:10Y 是您的工具，您將擁有：
$$ S = [0, 0, 0, 0, w_1, 0, -1, 0, 0, w_2]^T $$
您尋求解決方案 $ w_1 $ , $ w_2 $ 這樣您以 PC 表示的風險相對於前兩個組件為零，即 $ E_{1,2} $ 是兩個列式 PC：
$$ S^T E_{1,2} = [0, 0] $$
這減少到：
$$ [w_1, -1, w_2] \begin{bmatrix} e_{5y,1} & e_{5y,2} \ e_{7y,1} & e_{7y,2} \ e_{10y,1} & e_{10y,2} \ \end{bmatrix} = [0, 0] $$
將常數向右取以形成線性系統（Ax = b）為：
$$ [w_1, w_2] \begin{bmatrix} e_{5y,1} & e_{5y,2} \ e_{10y,1} & e_{10y,2} \ \end{bmatrix} = [e_{7y,1}, e_{7y,2}] $$
解決方案是（如果存在）：
$$ [w_1, w_2] = [e_{7y,1}, e_{7y,2}] \begin{bmatrix} e_{10y,2} & -e_{5y,2} \ -e_{10y,1} & e_{5y,1} \ \end{bmatrix} \frac{1}{e_{5y,1}e_{10y,2}-e_{5y,2}e_{10y,1}} $$
一個警告：這些權重可能非常不穩定，取決於小的相關/共變異數變化。