Vasicek 模型債券價格與遠期價格的累積積分

（我的問題）

請告訴我如何用它的計算過程來計算下面的期望。除了， $ B_t $ 是 SBM

$$ E\left[ \exp \left( - \int^T_t \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} d B_s du \right) \right] $$

（提前謝謝你的幫助。）

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（交叉連結）

我在https://math.stackexchange.com/questions/3343590/cumulative-integration-with-regard-to-vasicek-models-bond-price-and-its-forward上發布了同樣的問題

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（原問題）

解決 $ P(t, T) $ 使用以下模型

$$ dr_t=-br_t dt + \sigma dB_t $$

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（我的考慮）

• 拳頭，

$$ r_u=e^{-bu} r_0 + \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s $$

• 第二，

$$ \begin{eqnarray} P(t, T) &=& E \left[ \exp \left( - \int^T_t r_u du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& E\left[ \exp \left( - \int^T_t \left(e^{-bu} r_0 + \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s \right) du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& E\left[ \exp \left( - \int^T_t e^{-bu} r_0 du - \int^T_t \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT}-e^{-bt}) E\left[ \exp \left(- \int^T_t \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray} $$

• 第三，我假設使用以下公式，但我不知道替換積分順序。

$$ E\left[ \exp \left( \int^T_t f(s) dB_s \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] = \exp \left( \frac{1}{2} \int^T_t f(s)^2 ds \right) $$

提前謝謝你的幫助。

（我的答案）

Vascek 債券價格及其遠期價格

• 回想練習 5.2.(1) 或練習 4.5.(10) 的結果。 $$ \begin{eqnarray} P(t, T) &=& E \left[ \exp \left( - \int^T_t r_u du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& E \left[ \exp \left( - \int^T_t \left( e^{-bu} r_0 + \sigma \int^u_0 e^{-b(u-s)} dB_s \right) du\right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& E \left[ \exp \left( - r_0 \int^T_t e^{-bu} du - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& E \left[ \exp \left( - r_0 \left[ -\frac{1}{b} e^{-bu} \right]^T_t - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ %&=& E \left[ \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \qquad E \left[ \exp \left( - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray} $$
• 在這裡，使用以下公式計算期望內的指數部分（累積積分公式替換 $ du $ 和 $ dB_s $ . （小島於 2019 年 9 月 5 日開發） $$ \begin{eqnarray} \int^t_0 \int^u_0 dB_s \ du &=& \int^t_0 \int^u_s du \ dB_s \ \int^T_t \int^u_0 dB_s \ du &=& \int^T_0 \int^u_s du \ dB_s - \int^t_0 \int^u_s du \ dB_s \end{eqnarray} $$
• 所以， $$ \begin{eqnarray} && - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s \ du \nonumber \ && \qquad = - \int^T_0 \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s \ du + \int^t_0 \int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s \ du \ && \qquad = - \int^T_0 \int^T_s \sigma e^{-b(u-s)} du \ dB_s + \int^t_0 \int^t_s \sigma e^{-b(u-s)} du \ dB_s \ && \qquad = - \int^T_0 \left[ -\frac{ \sigma }{b} e^{-b(u-s)} \right]^T_s dB_s + \int^t_0 \left[ -\frac{ \sigma }{b} e^{-b(u-s)} \right]^t_s dB_s \ && \qquad = \int^T_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \ && \qquad = \int^T_t \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s \nonumber \ && \qquad \qquad + \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \end{eqnarray} $$
• 將上述結果代入指數部分。 $$ \begin{eqnarray} P(t, T) &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \qquad E \left[ \exp \left( - \int^T_t\int^u_0 \sigma e^{-b(u-s)} dB_s du \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \ \cdot \exp \left( \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \right) \ && \ E \left[ \exp \left( \int^T_t \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray} $$
• 在這裡，使用以下公式。 $$ \begin{eqnarray} E\left[ \exp \left( \int^T_t f(s) dB_s \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] = \exp \left( \frac{1}{2} \int^T_t f(s)^2 ds \right) \end{eqnarray} $$
• 所以， $$ \begin{eqnarray} P(t, T) &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \ \cdot \exp \left( \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \right) \ && \ E \left[ \exp \left( \int^T_t \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] \ &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \ \cdot \exp \left( \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \right) \ && \ \cdot \exp \left( \frac{1}{2} \int^T_t \frac{ \sigma^2 }{b^2} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right)^2 ds \right) \end{eqnarray} $$
• 一個計算指數部分，讓它 $ \mathscr{P}(t, T, r) $ . $$ \begin{eqnarray} \mathscr{P}(t, T, r) &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \nonumber \ && \qquad + \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right) dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} \left( e^{-b(t-s)} -1 \right) dB_s \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{2} \int^T_t \frac{ \sigma^2 }{b^2} \left( e^{-b(T-s)} -1 \right)^2 ds \ &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \nonumber \ && \qquad + \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} e^{-b(T-s)} dB_s - \int^t_0 \frac{ \sigma }{b} e^{-b(t-s)} dB_s \nonumber \ && \qquad + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} \int^T_t \left( e^{-2b(T-s)} -2e^{-b(T-s)} + 1 \right) ds \ &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{b} e^{-bT} e^{bt}\int^t_0 \sigma e^{-b(t-s)} dB_s - \frac{1}{b} \int^t_0 \sigma e^{-b(t-s)} dB_s \nonumber \ && \qquad + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} \left[ \frac{1}{2b} e^{-2b(T-s)} - \frac{2}{b} e^{-b(T-s)} + s \right]^T_t \end{eqnarray} $$
• 在這裡，使用結果。 $$ \begin{eqnarray} \sigma \int^t_0 e^{-b(t-s)} dB_s &=& r_t - e^{-bt} r_0 \ \mathscr{P}(t, T, r) &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{b} e^{-bT} e^{bt}\int^t_0 \sigma e^{-b(t-s)} dB_s - \frac{1}{b} \int^t_0 \sigma e^{-b(t-s)} dB_s \nonumber \ && \qquad + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} \left[ \frac{1}{2b} e^{-2b(T-s)} - \frac{2}{b} e^{-b(T-s)} + s \right]^T_t \ &=& \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{b} e^{-b(T-t)} (r_t - e^{-bt} r_0 )- \frac{1}{b} (r_t - e^{-bt} r_0 ) \nonumber \ && \qquad + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} \frac{1}{2b} ( 1- e^{-2b(T-t)} ) \nonumber \ && \qquad - \frac{ \sigma^2 }{2b^2} \frac{2}{b} ( 1- e^{-b(T-t)} ) + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} (T-t) \end{eqnarray} $$
• 將上述結果代入指數部分。因此，可以得出以下結果 $ P(t, T) $ . $$ \begin{eqnarray} P(t, T) &=& \exp \left( \frac{r_0}{b} (e^{-bT} -e^{-bt} ) \right) \nonumber \ && \qquad \cdot \exp \left( \frac{1}{b} e^{-b(T-t)} (r_t - e^{-bt} r_0 )- \frac{1}{b} (r_t - e^{-bt} r_0 ) \right) \nonumber \ && \qquad \cdot \exp \left(\frac{ \sigma^2 }{4b^3} ( 1- e^{-2b(T-t)} ) \nonumber \right) \ && \qquad \cdot \exp \left( -\frac{ \sigma^2 }{b^3} ( 1- e^{-b(T-t)} ) + \frac{ \sigma^2 }{2b^2} (T-t) \right) \end{eqnarray} $$
• 回顧遠期利率的定義 $ f(t, T, S) $ . $$ \begin{eqnarray} f(t, T, S) &\equiv& - \frac{ \log P(t, S) - \log P(t, T)}{S-T} \ f(t, T_1, T_2) &\equiv& - \frac{ \log P(t, T_2) - \log P(t, T_1)}{T_2-T_1} \end{eqnarray} $$
• 在這裡，一個到達 $ -\log P(t, T_2) $ . $$ \begin{eqnarray} -\log P(t, T_2) &=& - \frac{r_0}{b} e^{-bT_2} + \frac{r_0}{b} e^{-bt} -\frac{1}{b} e^{-b(T_2-t)} r_t + \frac{1}{b} e^{-b(T_2-t)} e^{-bt} r_0 \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{b} r_t - \frac{1}{b} e^{-bt} r_0 - \frac{\sigma^2}{4b^3} + \frac{\sigma^2}{4b^3} e^{-2b(T_2 -t)} \nonumber \ && \qquad + \frac{\sigma^2}{b^3} -\frac{\sigma^2}{b^3}e^{-b(T_2 -t)} - \frac{\sigma^2}{2b^2} T_2 + \frac{\sigma^2}{2b^2} t \ &=& - \frac{r_0}{b} e^{-bT_2} + \frac{r_0}{b} e^{-bt} -\frac{1}{b} e^{-b(T_2-t)} r_t + \frac{1}{b} e^{-bT_2} r_0 \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{b} r_t - \frac{1}{b} e^{-bt} r_0 - \frac{\sigma^2}{4b^3} + \frac{\sigma^2}{4b^3} e^{-2b(T_2 -t)} \nonumber \ && \qquad + \frac{\sigma^2}{b^3} -\frac{\sigma^2}{b^3}e^{-b(T_2 -t)} - \frac{\sigma^2}{2b^2} T_2 + \frac{\sigma^2}{2b^2} t \end{eqnarray} $$
• 此外，一個達到 $ \log P(t, T_1) $ . $$ \begin{eqnarray} \log P(t, T_1) &=& \frac{r_0}{b} e^{-bT_1} - \frac{r_0}{b} e^{-bt} + \frac{1}{b} e^{-b(T_1-t)} r_t - \frac{1}{b} e^{-bT_1} r_0 \nonumber \ && \qquad - \frac{1}{b} r_t + \frac{1}{b} e^{-bt} r_0 + \frac{\sigma^2}{4b^3} - \frac{\sigma^2}{4b^3} e^{-2b(T_1 -t)} \nonumber \ && \qquad - \frac{\sigma^2}{b^3} + \frac{\sigma^2}{b^3}e^{-b(T_1 -t)} + \frac{\sigma^2}{2b^2} T_1 - \frac{\sigma^2}{2b^2} t \end{eqnarray} $$
• 因此，可以得出以下等式。 $$ \begin{eqnarray} -\log P(t, T_2) + \log P(t, T_1) &=& - \frac{r_t}{b} ( e^{-b(T_2-t)} - e^{-b(T_1-t)} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{\sigma^2}{4b^3} ( e^{-2b(T_2-t)} - e^{-2b(T_1-t)} ) \nonumber \ && \qquad - \frac{\sigma^2}{b^3} ( e^{-b(T_2-t)} - e^{-b(T_1-t)} ) \nonumber \ && \qquad - \frac{\sigma^2}{2b^2} (T_2 -T_1) \ &=& - \frac{\sigma^2}{2b^2} (T_2 -T_1) \nonumber \ && \qquad - \left( \frac{r_t}{b} + \frac{\sigma^2}{b^3} \right) ( e^{-b(T_2-t)} - e^{-b(T_1-t)} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{\sigma^2}{4b^3} ( e^{-2b(T_2-t)} - e^{-2b(T_1-t)} ) \end{eqnarray} $$
• 因此，將上述結果代入遠期利率的定義中 $ f(t, T_1, T_2) $ . $$ \begin{eqnarray} f(t, T_1, T_2) &\equiv& - \frac{ \log P(t, T_2) - \log P(t, T_1)}{T_2-T_1} \ &=& - \frac{\sigma^2}{2b^2} - \frac{1}{T_2 -T_1 } \left( \frac{r_t}{b} + \frac{\sigma^2}{b^3} \right) ( e^{-b(T_2-t)} - e^{-b(T_1-t)} ) \nonumber \ && \qquad + \frac{1}{T_2 -T_1 } \frac{\sigma^2}{4b^3} ( e^{-2b(T_2-t)} - e^{-2b(T_1-t)} ) \end{eqnarray} $$

$ \square $

（累積積分公式替換 $ du $ 和 $ dB_s $ )

• 我已經開發了公式來自己解決這個問題！

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$$ \begin{eqnarray} \int^t_0 \int^u_0 dB_s \ du &=& \int^t_0 \int^u_s du \ dB_s \ \int^T_t \int^u_0 dB_s \ du &=& \int^T_0 \int^u_s du \ dB_s - \int^t_0 \int^u_s du \ dB_s \end{eqnarray} $$

• 因此，我們可以使用我假設的以下公式。

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$$ E\left[ \exp \left( \int^T_t f(s) dB_s \right) \middle| \mathcal{F}_t \right] = \exp \left( \frac{1}{2} \int^T_t f(s)^2 ds \right) $$

• 我使用公式解決了 Vasicek 債券價格計算。

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引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/47522