推導出歐洲美元未來利率的數學方程
如果我們假設 r(t) 遵循 Vasicek 模型，即： $$ dr(t) = (\mu - \kappa r(t))dt + \sqrt\sigma dW(t) $$ 如何推導出歐洲美元未來匯率的表達式？
有很多方法可以解決 Vasicek 系統，就我個人而言，我採用馬爾科夫短率方法。無需深入證明的細節：
請注意，歐洲美元期貨是在每次結算時的風險中性 Q 衡量的 libor 利率下計算的 $ t_{fix} $ （每三個月間隔一次）
利率 $ l(t_{fix}) = \frac{1}{tenor} e^{A_{diff} - B_{diff} * r(t_{fix})} $ 在哪裡 $ A_{diff} = A(t_0 - t_{fix}) - A(t_1 - t_{fix}) $ 和類似 $ B_{diff} $ . $ t_0 $ 和 $ t_fix $ 是目前歐洲美元結算的開始時間，並且 $ t_1 $ 是它的成熟時間（例如， $ t_0 = 0.25, t_{fix} = 0.25, t_1 = 0.5 $ )
A 和 B 使用以下系統計算：
$ \frac{dB}{dt} = kB - 1 $
$ \frac{dA}{dt} = \mu B - \frac{1}{2} \sigma B^2 $
表示 $ A_{diff} - B_{diff} * r(t_{fix}) $ = $ \psi $ （僅用於打字目的）
因此很明顯，計算歐洲美元匯率 = $ E^Q(l(t_{fix}) = \frac{1}{tenor} e^{E(\psi) + \frac{1}{2}\sigma(\psi)^2} $ ，您已經有了 A 和 B，只需要短期過程的均值和變異數，這在定義的 vasicek 模型下非常簡單。
意思是： $ r_0e^{-kt_{fix} + \mu (\frac{1-e^-t_{fix}}{k})} $
變異數： $ \frac{\sigma}{2k} (1-e^{-2k t_{fix}}) $
也不要忘記在期望值後為-1