利率
HJM 框架與短期利率模型的差異
最近我研究了一些利率模型。
當我轉向遠期利率模型時，我看到了這個文件
https://en.wikipedia.org/wiki/Heath-Jarrow-Morton-_framework
它說“ HJM 型模型捕捉整個遠期利率曲線的全部動態，而短期利率模型只捕捉曲線上一個點的動態”
我不明白的是，為什麼短期利率模型不能捕捉到曲線的全部動態？似乎模型中的唯一區別是短期利率 ‘r(t,T)’ 代替了瞬時遠期利率 ‘f(t,s)’
我的意思是，短期利率模型： $ dr(t,s) = μ(t,s)dt + σ(t,s)dW_t $
和 HJM 框架： $ df(t,s) = μ(t,s)dt + σ(t,s)dW_t $
所以我認為短期利率模型可以捕捉到完整期限結構的動態。此外，任何無套利短期利率模型都可以構成目前的期限結構。
我試圖用Tuckman，Veronesi等固定收益證券教科書來理解上述粗體和斜體句子的含義。但它失敗了。
我現在誤會了什麼？
大多數對收益率曲線歷史數據的主成分分析 (PCA) 發現，通常收益率曲線
- 平行移動
- 從正常翻轉到反向（反之亦然）
- 扭曲（改變其曲率）
在每個 PCA 中，這些運動的驅動因素是每個一維的不相關標準法線。
在數學上，您可以通過由三個布朗運動驅動的 HJM 模型對此進行建模。
- 我不相信每個 HJM 模型都能捕捉到整個前向曲線的全部動態。如果這是真的，即使是最差的 HJM 模型（即你從 Ho-Lee 模型開始時得到的那個）也可以捕捉到完整的動態。
- 事實是，根據定義，HJM 模型捕捉了目前收益率曲線的形狀，因為那隻是曲線 $ T\mapsto f(0,T) $ 這是模型的一部分。
- 短期模型通常是馬爾可夫模型（至少是那些最常用的模型，例如 Vasicek、CIR、Black-Karasinski 等）。這個馬爾可夫性質意味著每個有條件的零債券價格 $$ P(t,T)=\textstyle\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_t^Tr(s),ds\Big)\Big|{\cal F}_t\Big] $$ 是單變數的確定性函式 $ r(t) $ : $$ P(t,T,r(t)),. $$ 反過來，這意味著收益率曲線 $$ Y(t,T)=-\log P(t,T)/(T-t) $$ 或其連續複合的姐妹 $$ f(t,T)=-\frac{\partial}{\partial T}\log P(t,T) $$ 也必須是單個變數的確定性函式 $ r(t) $ .
這排除了馬爾可夫短期利率模型中收益率曲線的動態可以執行不相關的平行移動、翻轉或扭曲。