匯率動態
我在幾個地方看到了外匯匯率，表示 $ X $ ，例如 EURUSD（引用為“購買 1 歐元所需的美元數量”）通過其“變化率”使用擴散過程/幾何布朗運動建模如下：
$$ \frac{dX_t}{X_t} = \left[r_d(t)-r_f(t)\right]dt + \sigma(t,X) dW^Q(t), $$
在哪裡 $ r_d $ 和 $ r_f $ 表示本幣 (USD) 和外幣 (EUR) 的（確定性）短期匯率。也可以通過乘以來模擬相同的動態 $ X_t $ .
我的問題與漂移商有關 $ r_d(t)-r_f(t) $ : 為什麼沒有 $ r_f(t)-r_d(t) $ ? 我們剛剛看到美聯儲（美國中央銀行）加息（意思是 $ r_d $ 增加）。市場反應是 EURUSD 下跌 ( $ X $ ).
$$ This post $$匯率 SDE 與各自利率之間的關係或多或少提出了相同的問題，但它沒有回答為什麼我們不能反過來建模——或者至少為什麼我們不應該這樣做。
我現在回答而不是評論。在這種情況下，外彙的變化率自然是前瞻性的。
您感到困惑的是，由於利率環境的變化相對於沒有套利論據的預期，Spot 發生了什麼。最近美聯儲加息（ $ r_d $ 增加）和 EURUSD 下降（X 從大約 1.2 下降到 1.07）已經發生，與此模型無關。請注意，這實際上是美元升值。
任何新聞（市場數據的變化）都會立即計入價格。如果美國相對於歐元的較高利率使美元投資更具吸引力，那麼您可以預期美元會升值。然而，這已經發生了（一旦利率發生變化）。
以上是指給定的市場數據（現貨和匯率已知）。這也是外匯遠期的定價方式，並顯示在我在評論中引用的關於涵蓋利率平價的維基百科文章中。
無論你做什麼，國內投資的回報與國外投資的回報是一樣的。這是有效的，因為您輸入了一個遠期並確定了保證沒有套利的利率。
就預期點而言（ $ E(S) $ )，故事更加細緻入微。所謂的未覆蓋利率平價定義如下：
$$ (1+i_{\$})={\frac {E_{t}(S_{{t+k}})}{S_{t}}}(1+i_{c}) $$
或重新排列：
$$ {{S_{t}}}\frac {(1+i_{\$})}{(1+i_{c})} = E_{t}(S_{{t+k}}) $$
如果你現在想到 EURUSD（每歐元有多少美元，比如 1.2，如果美國利率是 10%，你得到 5%（一年），那麼
$$ {1.2}*\frac {(1+0.1)}{(1+0.05)} = 1.25714286 $$
換句話說，每歐元需要更多美元——美元貶值，歐元升值。也就是說，存在一種廣泛使用的策略，稱為“套利交易”。為了使套利交易發揮作用，情況並非如此（平均而言，較高利率的貨幣貶值幅度不大）。這是一個成功的策略，但風險很大，因為這種貶值有一種實際發生的趨勢——通常在危機期間迅速發生。這就是為什麼有這樣一種說法，在套利交易中，你走上樓梯（小額穩定回報）並走下自動扶梯（大額突然虧損）。如果您想知道為什麼這種關係有意義，那主要是由於通貨膨脹率的差異。下圖來自 FRED在Julia中使用FredApi。
土耳其的利息高於美國（目前為 14%），但里拉兌美元匯率仍在穩步貶值。原因是更高的通貨膨脹。
根據經驗，外匯也比這種關係所暗示的更不穩定，這就是開發“超調模型”的原因。這些是外匯建模股票方法的一部分，由結合資本市場、商品市場和貨幣市場的靈活和粘性價格貨幣模型組成。粘性價格貨幣模型也稱為超調模型，最初由Dornbusch (1976) 設計。
在預測方面（您的最終目標可能是什麼？），這些模型都沒有表現良好或無法使用。Kenneth Rogoff 和 Richard Meese收到了對他們現在著名的論文的難以置信的反應，該論文表明隨機遊走 (RW) 預測優於匯率的經濟模型。反應類似於“你不可能做對”或“結果顯然是垃圾”。事實證明他們是正確的。Rogoff 在後來的一些論文中提出了一個有趣的觀點。如果貨幣供應量難以預測，那麼如果匯率難以預測，就不應責怪模型。重要的是不可預見的消息。然而，正如羅格夫進一步指出的那樣，他們的發現更加極端。他們根據一年內的貨幣供應量、利率和產出等資訊，對一年內的匯率進行了預測。然而，即使在這種情況下，也沒有任何經濟模型能擊敗 RW。
SDE 主要用於期權定價。這些模型應該是內部一致的，在一定程度上涵蓋的利息平價也應該成立。這就是為什麼通常許多定價引擎（例如彭博社）暗示 4 種輸入（即期、遠期、兩種利率）之一，預設情況下流動性最低的利率。
這也解釋了為什麼不能反過來建模，因為它會創造套利機會。
