違約風險對債券利率的影響
所以我想計算違約風險對債券所需利息的影響（而不是對債券價格的影響，因為它被標準化為一）。
我想到了使用消費資本資產模型併計算以下內容。
$$ U = u(C_1) + \beta (1-p)E_tu(C_2) + \beta p u(C_2) $$
適用以下情況：
$$ p = no ; default ,; (1-p) = default $$
並且適用以下預算限制：
$$ C_1 = Y_1 - T_1 - S_1 $$ $$ C_2 = Y_2 - T_2 + (1+r)S_1 $$
我使用拉格朗日得到以下結果，這樣消費者通過決定投資多少來最大化效用：
$$ 1 = \frac{\beta E_t[U’(C_2)p(1+r)]}{(u’(C_2)} $$
但是，我想最終在一個使用共變異數的方程中得到它，但我不知道如何。
為了理解你的問題，你的 $ U $ 應該 $$ U = u(C_1) + \beta (1-p)E_1 [ u(C_2) ] + \beta p E_1[u(Y_2 - T_2)]. $$ （這個定義 $ U $ 假設違約事件獨立於經濟中的其他不確定性來源。）
如果債券違約，儲蓄 $ S_1 $ 從第一個時期就被消滅了。如果二期生產/禀賦/轉移/等存在不確定性，那麼二期消費在違約的情況下仍然是隨機的。
假設agent只選擇消費 $ (C_1) $ （所以 $ C_2 $ 在沒有違約的情況下），然後是實際利率 $ r $ 由 $$ 1 = E_1[\beta \frac{u’(C_2)}{u’(C_1)} (1-p) (1 + r)]. $$ 這只是利率標準歐拉方程的擴展 $$ 1 = E_1[\beta \frac{u’(C_2)}{u’(C_1)} (1 + r)] $$ 什麼時候 $ p = 0 $ .
如果均衡消費保持不變（例如等於外生禀賦），則違約機率較高 $ p $ 導致更高的利率 $ r $ ，如你所料。違約的高機率激勵代理今天消費而不是為明天儲蓄。為了不讓他借貸和清理債券市場，均衡利率必須更高。同樣，更高的違約風險意味著代理人要求更高的債券流動性溢價。
如果 $ p $ 和 $ r $ 很小， $ (1-p)(1+r) \approx e^{r-p} $ ，這意味著 $ r $ 一對一地移動 $ p $ .