凸性調整的 T-forward 度量下的等式
我一直在研究從一項措施改變時出現的利率凸性調整 $ Q_{T_p} $ 用現金 $ N_p=P(t,T_p) $ 衡量 $ Q_{T_e} $ 用現金 $ N_e=P(t,T_e) $ 在哪裡 $ T_p $ 是付款時間和 $ T_e $ 是遠期利率的利息結束的時間。
所以我有遠期匯率：
$$ \begin{align*} L(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*} $$ 以及隨著措施的變化支付的預期：
$$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{\eta{T_p}}{\eta_{t_0}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big) \end{align*} $$ 現在我相信，最後一個等式是棘手的，因為我多次觀察到兩個遠期利率 $ T_p $ 和 $ T_s $ 我想確認我的想法，因為我們在 $ Q_{T_e} $ 測量和兩者 $ L(T_p, T_p, T_e) $ 和 $ L(T_s, T_p, T_e) $ 是鞅，我可以使用這個等式：
$$ \begin{align*} P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)= P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\tag{1} \end{align*} $$ 這種平等是否因為這個原因而成立？現在從那裡我看到了兩種可能的解決方案：
- 假設兩者都有一個模型（例如對數正態） $ L(t, T_p, T_e) $ 和 $ L(t, T_p, T_e) $ 因為現在我們將使用觀察到的兩個值 $ T_s $ 當我使用 Ito 的引理來計算產品然後進行積分時，我會從 $ t_0 $ 至 $ T_s $ 並且通過該解決方案可以解決期望。
- 使用第 19 頁第 4.2 節中提出的線性模型。基本上計算是關於 $ (1+ \Delta_s^e L(T_s, T_s, T_e) $ 但具有特定的價值 $ \Delta_s^e $ 相乘以說明支付的金額 $ T_p $ 而不是在 $ T_e $ .
我正在努力為期權定價，特別是數字期權（我認為應該幾乎相同）。這裡有沒有人使用過這些結果中的任何一個會優先於這些選項之一？
很多幫助表示讚賞
通常的方法類似於您的 2. 並且被稱為非自然付款日期 Libor 的複制定價，有時也稱為延遲 libor。您可以在任何有關利率衍生品定價的書籍中找到它，例如Andersen & Piterbarg Interest Rate Modeling。
此外，數字期權的標準方法是通過區分正常看漲期權或看跌期權來對其進行定價，以與波動率微笑保持一致。
因此，在您的特定情況下，為支付的數字期權定價 $ \text{Indicator}(L(T_s, T_s, T_e) > K) $ 上 $ T_p $ ，您首先將複製應用於具有收益的價格期權 $ (L(T_s, T_s, T_e) - K)^+ $ 支付 $ T_p $ ，然後您（在數字上）區分 $ K $ .