估計參數 - Vasicek
短期利率的 Vasicek 模型 $ r_t $ 由 SDE 給出
$$ dr_t = \alpha(\beta - r_t)dt + \sigma dW_t, $$ 在哪裡 $ W_t $ 是物理量度下的布朗運動。 我想在這個模型下計算債券價格，所以我需要估計三個參數 $ \alpha $ , $ \beta $ 和 $ \sigma $ . 當然， $ r_t $ 不可觀察，但產量 $ R(t,T) $ 是根據實際債券價格計算得出的，因此我們應該使用風險中性度量。改變測量後的 Vasicek 模型是
$$ dr_t = (\alpha(\beta - r_t) - \lambda\sigma)dt + \sigma d\tilde{W}_t, $$ 在哪裡 $ \tilde{W}_t $ 是風險中性測度下的布朗運動，並且 $ \lambda $ 是風險的市場價格。但是，我們可以這樣寫 $$ dr_t = a(b - r_t)dt + \sigma dW_t, $$ 在哪裡 $$ a = \alpha, \qquad b = \frac{\alpha\beta - \lambda\sigma}{\alpha}. $$ 因此，我們仍然只有三個參數要估計， $ a,b $ 和 $ \sigma $ ，而風險的市場價格 $ \lambda $ 只是隱含的。 最後，回憶一下債券價格 $ P(t,T) $ 可以寫成兩種方式
$$ P(t,T) = e^{-R(t,T)(T-t)} = e^{A_t(a,b,\sigma) - B_t(a,b,\sigma) r_t(a,b,\sigma)}, $$ 在哪裡 $ A_t $ 和 $ B_t $ 是風險中性參數的確定性函式 $ a $ , $ b $ 和 $ \sigma $ （這是對的嗎？）。因此給定債券收益率 $ R(t,T) $ , 短率可以通過仿射函式恢復 $$ r_t(a,b,\sigma) = \frac{R(t,T)(T-t) + A_t(a,b,\sigma)}{B_t(a,b,\sigma)}. $$ 然後我們可以使用一些花哨的估計程序來估計參數 $ a,b $ 和 $ \sigma $ 通過觀察到的產量。 我的問題是，這確實是我們要估計的風險中性參數嗎？ 也就是說，我們是否會估計 $ a,b, $ 和 $ \sigma $ ，或者我們需要包括 $ \lambda $ 並估計 $ \alpha, \beta, \sigma $ 和 $ \lambda $ ?
**第一個答案，如果您認為合適，請提供建議/編輯！
假設鍵具有仿射結構，當 lambda 不為 0 時，這是您的情況， $ \frac{dB}{dt} $ 等於類似 $ \frac{dB}{dt} = \mu + 0.5 * \gamma B^{2} -1 $ （這裡的 gamma 類似於你的 lambda 項），所以我們也將估計 lambda。
如果您是根據滾動到期收益率的時間序列觀察來估計參數，則不會發現問題。
以固定間隔（每天、每月等）對債券收益率（連續複利）的時間序列觀察遵循 AR(1) 過程，該過程具有三個參數。四個參數的組合有無數種 $ \alpha $ , $ \beta $ , $ b $ ， 和 $ \sigma $ 為您提供相同的 AR(1) 過程。
所以真的，你無法估計風險中性或真實參數，只要你得到的只是一個固定到期收益率的時間序列。